集合の基礎

集合と要素

犬やサルや鳥は、これらをひとまとめにして「動物」と表すことができる。このように、ものを寄せ集め、ひとくくりにしたものを集合という。ここでは、集合という考え方に対する注意や、集合に関する用語について学ぶ。

集合と要素の表し方

集合の表し方
要素の表し方

集合と集合の関係

先程学んだように、集合とはものの集まりであった。2つの集合があるとき、この2つの集合が全く別の集まりを表すこともあれば、要素を共有することもある。ここでは、2つの集合の間の関係について考えてみよう。

部分集合

部分集合について
集合の相等
真部分集合

共通部分と和集合

共通部分
和集合

補集合

共通部分と補集合

集合の直積

直積とは何か

写像

自動販売機にお金を入れボタンを押すと、商品がでてくる。自動販売機は内部の仕組みはわからなくても、「お金を入れボタンを押す」ことと「飲み物がでてくる」ことは何らかの規則で対応しているのはわかる。このように、途中の仕組みを無視して、何かと何かの対応のみに着目することが便利な場合もある。数学ではこの対応のことを写像と呼ぶ。

写像について

写像とは何か

いろいろな写像

1対1の写像(単射)
上への写像(全射)
上への1対1の写像(全単射)

集合の要素の個数

集合の表し方より、有限集合の要素の個数は数えることができる。ここでは、集合の要素の個数の表し方や、集合の要素の個数についてに成り立つ関係式を見ていこう。

集合の要素の個数の表し方

集合の要素の個数の表し方

直積の要素の個数

直積の要素の個数

和集合の要素の個数(包含と排除の原理)

和集合の要素の個数(包含と排除の原理)

補集合の要素の個数

“着目しないもの”に着目する
補集合の要素の個数について