集合と要素

“1から9までの自然数の集まり”や“すべての偶数の集まり”のように、それに含まれるものが明確であるとき、このものの集まりを集合 (set) といい、ものそれぞれをその集合の要素 (element) という。集合は、アルファベットの大文字 $A,B,C,\cdots,X,Y$ などを用いて表される。

集合の図

例えば、集合 $A$ を \[「12の正の約数の集合」\tag{1}\label{syugonoarawasikata1}\] とした場合、$12$ の正の約数は $1,2,3,4,6,12$ であるから、$A$ は \[「1,2,3,4,6,12を要素とする集合」\tag{2}\label{syugonoarawasikata2}\] といっても同じことである。

$\eqref{syugonoarawasikata1}$ のように、要素の満たす条件を示して集合を決める方法のことを、内包ないほう的定義 (intensional definition) といい \[A=\{x|xは12の正の約数\}\] と表す。この方法では、$A$ の要素を代表して例えば $x$ などで表し、$\{~\}$ の中の縦線 $(|)$ の右側に、その $x$ の満たす条件を書く。

また、$\eqref{syugonoarawasikata2}$ のように、すべての要素を書き並べて集合を決める方法のことを、外延がいえん的定義 (extensional definition) といい \[A=\{1,2,3,4,6,12\}\] と表す。

また、「要素をもたない集合」というものも考えることとし、これを空くう集合 (empty set) といい、記号 $\emptyset$ で表す。

空集合を表すのにギリシア文字の $\phi$ （ファイ）をあてている本もある。

数の集合は次のように、あらかじめ表し方を決めているものがある。

この例題にある、“18の正の約数”のように、有限個の要素からなる集合を有限集合 (finite set) といい、“自然数全体”の集合のように、要素の個数に限りが無い集合を無限集合 (infinite set) という。

$a$ が集合 $A$ の要素であるとき、$a$ は集合 $A$ に属する (in) といい \[\boldsymbol{a\in{A}}\] と表す。また、$a$ が集合 $A$ の要素でないことは、$\in$ に斜線を引いて \[\boldsymbol{a\notin{A}}\] で表す。

集合に属するか否か

例として、$A=\{x|xは12の正の約数\}$ とすると \[3\in{A}~,~5\notin{A}\] である。