共通部分と補集合

1つの集合 $U$ を定めておいて、 $U$ の要素や、 $U$ の部分集合だけを考えるとき、 $U$ を全体集合 (universal set) という。全体集合 $U$ の部分集合 $A$ に対して、 $U$ の要素ではあるが $A$ に属さない要素全体の集合を $A$ の補集合 (complement) といい、 $\overline{A}$ で表す。

補集合を表す図

つまり $\overline{A}=\{x|x\in{U}かつx\not\in{A}\}$ である。

《例》 $X=\{1,2,3,4,5\}$ 、 $Y=\{1,3,5\}$ のとき、全体集合 $X$ に関する $Y$ の補集合 $\overline{Y}$ は $\overline{Y}=\{2,4\}$

暗記集合の性質～その2～

集合の性質～その2～

次の等式が成り立つことを、図をつかって確認せよ。

$\overline{\left(\overline{A}\right)}=A$
$A\cup\overline{A}=U$ 、 $A\cap\overline{A}=\emptyset$
$\overline{A\cup{B}}=\overline{A}\cap\overline{B}$ 、 $\overline{A\cap{B}}=\overline{A}\cup\overline{B}$

集合の性質～その2～の解答

まず、 $A$ の補集合 $\overline{A}$ は

であるから、 $A$ の補集合の補集合 $\overline{\left(\overline{A}\right)}$ は

であり、これは $A$ と一致する。
$A$ と $\overline{A}$ はそれぞれ

であるから、 $A$ と $\overline{A}$ の和集合 $A\cup\overline{A}$ と、共通部分 $A\cap\overline{A}$ はそれぞれ
$$A$ と $\overline{A}$ の和集合と共通部分$
であり、これらは $U$ 、 $\emptyset$ と一致する。
まず、 $A\cup{B}$ は

であるから、その補集合 $\overline{A\cup{B}}$ は

である。
また、 $\overline{A}$ 、 $\overline{B}$ はそれぞれ

であるから、これらの共通部分 $\overline{A}\cap\overline{B}$ は

であり、これは先程の $\overline{A\cup{B}}$ に一致する。
最後に $\overline{A\cap{B}}=\overline{A}\cup\overline{B}$ を確認する。まず、 $A\cap{B}$ は

であるから、その補集合 $\overline{A\cap{B}}$ は

である。
また、 $\overline{A}$ 、 $\overline{B}$ はそれぞれ

であるから、これらの和集合 $\overline{A}\cup\overline{B}$ は

であり、これは先程の $\overline{A\cap{B}}$ に一致する。

集合の性質～その2～

集合 $A$ 、 $B$ に関して次のことが成り立つ。

iii. $\overline{\left(\overline{A}\right)}=A$
iv. $A\cup\overline{A}=U$ 、 $A\cap\overline{A}=\emptyset$
v. $\overline{A\cup{B}}=\overline{A}\cap\overline{B}$ 、 $\overline{A\cap{B}}=\overline{A}\cup\overline{B}$

特に、このvの性質は有名で、ド・モルガンの法則 (law of de Morgan) と呼ばれている。

なお、iii の左辺にある集合 $A$ の補集合の補集合 $\overline{\left(\overline{A}\right)}$ は、簡単に $\overline{\overline{A}}$ と書くことがある。

暗記3集合の場合のド・モルガンの法則

次の等式を集合の性質～その1～、集合の性質～その2～ を用いて証明せよ。

$\overline{A\cup{B}\cup{C}}=\overline{A}\cap\overline{B}\cap\overline{C}$
$\overline{A\cap{B}\cap{C}}=\overline{A}\cup\overline{B}\cup\overline{C}$

3集合の場合のド・モルガンの法則の解答

まず $A\cup{B}$ を1かたまりとして考えていく。 $\begin{align} &\overline{A\cup{B}\cup{C}}\\ =&\overline{(A\cup{B})\cup{C}}\\ =&\overline{A\cup{B}}\cap\overline{C}\\ =&\overline{A}\cap\overline{B}\cap\overline{C} \end{align}$
まず $A\cap{B}$ を1かたまりとして考えていく。 $\begin{align} &\overline{A\cap{B}\cap{C}}\\ =&\overline{(A\cap{B})\cap{C}}\\ =&\overline{A\cap{B}}\cup\overline{C}\\ =&\overline{A}\cup\overline{B}\cup\overline{C} \end{align}$