部分集合について

部分集合についての図

2つの集合 $A$、$B$ について、$A$ からどのような要素 $x$ をとってきても、その要素 $x$ が $B$ の要素であるとき、つまり \[x\in{A}ならばx\in{B}\] が成り立つとき、$A$ は $B$ の部分集合 (subset) であるといい \[A\subseteqq{B}\] と表す。このとき、$A$ と $B$ の関係は図のようになり、$B$ は $A$ を含む (contain) という。

また、この定義から集合 $A$ は自分自身の部分集合、すなわち $A\subseteqq{A}$ がいえる。

なお、要素をもたない集合である空集合 $\emptyset$ は、どのような集合に対しても部分集合であると約束する。つまり、任意の集合 $A$ に対し、$\emptyset\subseteqq{A}$ とする。

《例》$X=\{1,2,3\}$、$Y=\{1,2,3\}$、$Z=\{1,2\}$ のとき \[X\subseteqq{Y}~,~{Z}\subseteqq{Y}~,~\emptyset\subseteqq{Z}\]