数学I 第3章集合の基礎 — 写像

この節の前提関数／集合と集合の関係

自動販売機にお金を入れボタンを押すと、商品がでてくる。自動販売機は内部の仕組みはわからなくても、「お金を入れボタンを押す」ことと「飲み物がでてくる」ことは何らかの規則で対応しているのはわかる。このように、途中の仕組みを無視して、何かと何かの対応のみに着目することが便利な場合もある。数学ではこの対応のことを写像と呼ぶ。

写像について

写像とは何か

ここでは、集合と集合の対応を調べることによって、写像や関数という考え方を学んでいこう。

例えば、東京駅からJRを使いさまざまな駅に向かうときの乗車券の料金（2026年9月現在）は次の表のようになっている。

向かう駅	料金（円）
渋谷	$260$
新宿	$260$
横浜	$530$
仙台	$6270$
大阪	$8910$
博多	$14080$
札幌	$15620$

このことを「集合」を用いて表すことを考えよう。

まず、向かう駅の集合 $A$ を $渋谷新宿横浜仙台大阪博多札幌 A={渋谷,新宿,横浜,仙台,大阪,博多,札幌}$ とし、料金の集合 $B$ を $B={260,530,6270,8910,14080,15620}$ とする。

このように集合 $A$ 、 $B$ を作ると、図のように $A$ の各要素に $B$ の要素が1つずつ対応する。

集合Aに含まれる7つの地名から、集合Bに含まれる6つの数値へそれぞれ矢印が向かっている。集合Aの渋谷と新宿からの矢印は、どちらも集合Bの260を指している。一般に、2つの集合 $A$ 、 $B$ において、ある規則によって $A$ のどの要素にも、 $B$ の要素が1つずつ対応しているとき、この規則を $A$ から $B$ への写像 (mapping) といい、記号 $f$ などを用いて $f:AB$ と書く。

写像 $f:AB$ において、集合 $A$ を $f$ の定義域 (domain of definition) という。

また、写像 $f:AB$ によって、 $A$ の要素 $a$ に対応する $B$ の要素を $f(a)$ と書き、これを $f$ による $a$ の像 (image)、または $f$ の $a$ における値 (value) という。

さらに、この像（値）全体の集合 ${f(a)|a\inA}$ を写像 $f$ の値域 (range) という。

値域は $B$ の部分集合であるが、 $B$ 全体と一致するとは限らない。 $B$ の要素の中には、 $A$ のどの要素の像にもなっていないものがあってもよい。

先程の例でいうなら、定義域は $渋谷新宿横浜仙台大阪博多札幌 A={渋谷,新宿,横浜,仙台,大阪,博多,札幌}$ であり、値域は $B={260,530,6270,8910,14080,15620}$ である。

また、この対応を与えている規則 $f$ による「横浜」の像、つまり $横浜 f(横浜)$ は、 $530$ である。

なお、第2章『関数と方程式・不等式』で学んだ関数 $y=f(x)$ も、 $x$ のとる値の集合から実数の集合への写像にほかならない。関数のときの定義域・値域は、ここでいう定義域・値域と同じものである。たとえば関数 $y=x²$ の定義域を実数全体とすると、値域は $0$ 以上の実数全体であり、実数全体そのものではない。

問題1定義域・値域

定義域 $A$ を $10$ 以下の自然数とするとき、 $A$ の各要素に、その正の約数の個数を対応させる写像 $f$ の値域 $B$ を求めよ。

解答を見る

定義域 $A$ は $A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}$ である。

$A$ の各要素の正の約数と、その個数は表のようにまとめられるので、値域 $B$ は $B={1,2,3,4}$ となる。

$A$	約数	約数の個数
$1$	$1$	$1$
$2$	$1$ 、 $2$	$2$
$3$	$1$ 、 $3$	$2$
$4$	$1$ 、 $2$ 、 $4$	$3$
$5$	$1$ 、 $5$	$2$
$6$	$1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $6$	$4$
$7$	$1$ 、 $7$	$2$
$8$	$1$ 、 $2$ 、 $4$ 、 $8$	$4$
$9$	$1$ 、 $3$ 、 $9$	$3$
$10$	$1$ 、 $2$ 、 $5$ 、 $10$	$4$

集合Aの要素1から10と、集合Bの要素1から4が並び、Aの各要素からBの要素へ矢印が向いている。1は1へ、2・3・5・7は2へ、4・9は3へ、6・8・10は4へ矢印が指している。

いろいろな写像

1対1の写像（単射）

$A$ からどのような要素 $x$ 、 $y$ をとってきても、 $f(x)=f(y)$ ならば $x=y$ となるとき $f$ を1対1の写像 (one-to-one mapping)、または単射 (injection) という。

集合Aの要素1, 2, 3, 4から集合Bの要素へ、1はb、2はc、3はa、4はdへそれぞれ矢印が向かっており、集合Bの要素eには矢印が向かっていない。

上への写像（全射）

$B$ のどのような要素 $y$ に対しても $f(x)=y$ となるような $A$ の要素 $x$ が存在するとき $f$ を上への写像 (onto-mapping)、または全射 (surjection) という。

集合Aの要素1から5と集合Bの要素aからdに対して、1からb、2と5からc、3からa、4からdへ矢印が向かい、Bのすべての要素に矢印が到達しています。

上への1対1の写像（全単射）

上への写像であり、かつ1対1の写像でもあるものを、上への1対1写像 (onto and one-to-one correspondence)、または全単射 (bijection) という。

集合Aの要素1、2、3、4、5から、集合Bの要素a、b、c、d、eへ、1はb、2はc、3はa、4はe、5はdへと、それぞれ重複なく1本ずつ矢印が伸びている。特に、集合 $A$ から集合 $A$ への全単射のことを、置換 (permutation) ともいう。

問題2単射・全射・全単射の判定

次の写像 $f$ が、単射か、全射か、全単射か、またはどれでもないかを答えよ。

$A={1,2,3}$ 、 $B={a,b,c,d}$ とし、 $f(1)=b$ 、 $f(2)=d$ 、 $f(3)=a$ とする写像 $f:AB$
$A={1,2,3,4}$ 、 $B={a,b,c}$ とし、 $f(1)=a$ 、 $f(2)=c$ 、 $f(3)=a$ 、 $f(4)=b$ とする写像 $f:AB$
$A={1,2,3,4}$ 、 $B={a,b,c,d}$ とし、 $f(1)=b$ 、 $f(2)=b$ 、 $f(3)=c$ 、 $f(4)=d$ とする写像 $f:AB$
$A={1,2,3}$ 、 $B={a,b,c}$ とし、 $f(1)=c$ 、 $f(2)=a$ 、 $f(3)=b$ とする写像 $f:AB$
実数全体の集合を $R$ とし、 $f(x)=x²$ で定める写像 $f:RR$
実数全体の集合を $R$ とし、 $f(x)=2x+1$ で定める写像 $f:RR$

解答を見る

単射かどうかは「 $B$ の同じ要素に $A$ の2つ以上の要素が対応していないか」、全射かどうかは「 $B$ のどの要素にも対応する $A$ の要素があるか」を調べればよい。

$A$ の異なる要素には $B$ の異なる要素が対応しているので単射である。一方、 $B$ の要素 $c$ には対応する $A$ の要素がないので全射ではない。よって単射であるが全射ではない。
$B$ のどの要素 $a$ 、 $b$ 、 $c$ にも対応する $A$ の要素があるので全射である。一方、 $f(1)=f(3)=a$ であるが $1\neq3$ なので単射ではない。よって全射であるが単射ではない。
$f(1)=f(2)=b$ なので単射ではない。また、 $B$ の要素 $a$ には対応する $A$ の要素がないので全射ではない。よってどれでもない。
$A$ の異なる要素には $B$ の異なる要素が対応し、 $B$ のどの要素にも対応する $A$ の要素があるので、単射かつ全射、つまり全単射である。
$f(1)=f(-1)=1$ であるが $1\neq-1$ なので単射ではない。また、どのような実数 $x$ に対しても $x²≧0$ なので、 $-1$ に対応する実数 $x$ はなく、全射ではない。よってどれでもない。

関数 $y=x²$ の値域は $0$ 以上の実数全体で、 $R$ 全体ではない
$f(x)=f(y)$ とすると $2x+1=2y+1$ より $x=y$ となるので、単射である。また、どのような実数 $y$ に対しても $x=(y-1)/2$ とすれば $f(x)=y$ となるので、全射である。よって全単射である。

直線 $y=2x+1$ はどの高さ $y$ にも1回だけ届く

最終更新: 2026-09-30

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