論理と集合
命題
ものごとの価値を決める尺度には、楽しさ、美しさ、善さなど、いろいろなものがある。数学では、正しさに最大の関心を払う。絶対に正しいといい切れるものを、証明という手段で徐々に積み上げて、数学は構築されている。ここでは、正しさを扱うための基本単位となる
命題と真・偽
“正しい”ということ“正しくない”ということ
命題と真・偽について
命題の結合
一見複雑な命題も、よくみると小さな命題が組み合わさってできている。正しさに着目する限り、その組み合せ方は「かつ」、「または」、「～ない」、「ならば」の4通りを考えれば十分である。以下では、その組み合わさり方のパターンをみていく。
命題の「かつ」と「または」
命題の「かつ」
命題の「または」
命題の否定
命題の否定について
命題の「ならば」
命題の「ならば」について
同値とは何か
逆・裏・対偶
条件と真理集合
「$1$ は $2$ より小さい」(真)のような、単発の命題ではなく、「$x$ は$2$ より小さい」のように、$x$ の値が決まって初めて真か偽かが決まる、いわば“穴の空いた命題”をここでは考える。
条件と真理集合について
条件とは何か
真理集合とは何か
条件の結合
前のセクションでは、ある条件 $p(x)$ を真とする $x$ の集まり、真理集合を学んだ。命題が組み合わされて命題が作れたように、条件の場合にも条件の組み合わせによって、新たに条件を作ることができる。この新たに作られた条件の真理集合は、集合の基礎で学んだ集合と対応させて理解することができる。
条件の「かつ」と「または」
「かつ」の真理集合
「または」の真理集合
条件の否定
否定の真理集合
条件の「ならば」
「ならば」の真理集合
必要条件と十分条件
いろいろな証明法
今までみてきた論理をもとに、ここでは有名な論法である「対偶法」と「背理法」についてみていこう。