命題の「ならば」について
命題の「ならば」
2つの命題 $p,q$ に対して、「もし $p$ が真であるならば、$q$ は真である」という命題は、簡単に
「$p$ ならば $q$ (if $p$ then $q$)」
と書かれ、記号で $\boldsymbol{{p}\Rightarrow{q}}$ と表す。
このとき、初めの命題 $p$ を
仮定 (assumption)
といい、後の命題 $q$ を
結論 (conclusion)
という。
2つの命題 $p,q$ の真偽それぞれについて、この新しい命題 $p{\Rightarrow}q$ の真偽をまとめると、次の表のようになる。
| $p$ | $q$ | $p{\Rightarrow}q$ |
| 真 | 真 | 真 |
| 真 | 偽 | 偽 |
| 偽 | 真 | 真 |
| 偽 | 偽 | 真 |
ある人が私たちに
「もしテストで100点をとれた $(p)$ ならば、美味しいものをおごってあげる $(q)$」
という約束したとしよう。そのとき、もし私たちがテストで100点をとったのに、美味しいものをおごってもらえなかったら、この人はうそをついたことになる。しかし、テストで100点をとれなかったときには、たとえおごってもらえなくても、この人はうそをついたことにならないし、また、たとえおごってもらったとしても、やはりこの人はうそをついたことにならない。
このように、日常的に用いている「ならば」は、条件が偽のときには結論が真でも偽でも、全体としては偽とはならないという主張なのだと考えられる。それゆえ、「ならば」に対する真偽の割り当ては、上の表のようになるのである。