逆・裏・対偶

$p\Rightarrow{q}$ の形をした命題に対して

$q\Rightarrow{p}$ を $p\Rightarrow{q}$ の逆 (converse)

$\overline{p}\Rightarrow\overline{q}$ を $p\Rightarrow{q}$ の裏 (converse of contraposition)

$\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ を $p\Rightarrow{q}$ の対偶たいぐう (contraposition)

という。

対偶は同値であることの証明

下の真偽値表を埋め、次の関係が成り立つことを示せ。 \[(p\Rightarrow{q})\Leftrightarrow(\overline{q}\Rightarrow\overline{p})\]

$p$	$q$	$\overline{p}$	$\overline{q}$	$p\Rightarrow{q}$	$\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$

真	真
真	偽
偽	真
偽	偽

$p$	$q$	$\overline{p}$	$\overline{q}$	$p\Rightarrow{q}$	$\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$

真	真	偽	偽	真	真
真	偽	偽	真	偽	偽
偽	真	真	偽	真	真
偽	偽	真	真	真	真

この表より、$p\Rightarrow{q}$ と $\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ の真偽が一致するのが確かめられるので、次のことがいえる。

2つの命題 $p,q$ に対して \[(p\Rightarrow{q})\Leftrightarrow(\overline{q}\Rightarrow\overline{p})\] が成り立つ。