数学I 第4章論理と集合 — 命題

ものごとの価値を決める尺度には、楽しさ、美しさ、善さなど、いろいろなものがある。数学では、正しさに最大の関心を払う。絶対に正しいといい切れるものを、証明という手段で徐々に積み上げて、数学は構築されている。ここでは、正しさを扱うための基本単位となる命題めいだいについて学んでいこう。

命題と真・偽

“正しい”ということ“正しくない”ということ

次の4つの事柄について、“正しい”か“正しくない”かという点について考えてみよう。

日本の首都は東京である
ペンギンは魚類である
実数を2乗すると $0$ 以上になる
2つの実数 $a$ 、 $b$ に対し $ab>0$ ならば、 $a>0$ かつ $b>0$ である

まず、1 に関して。日本の首都は東京であるので、疑い無く“正しい”といえる。

次に、2 に関して。ペンギンは鳥類なので、この文章は間違っている。“正しい”か“正しくない”かと聞かれたら、“正しくない”といえるだろう。

そして、3 に関して。実数は、正・負・ $0$ の3つに分類でき、正の実数の2乗は正、負の実数の2乗は正、 $0$ の2乗は $0$ であるから、いずれにしても2乗した結果は $0$ 以上となる。ゆえに、この文章は“正しい”といえる。

最後に、4 に関して。 $ab>0$ ということはいいかえるならば、 $a$ と $b$ が同じ符号 $(+, -)$ をもつということである。 $a$ と $b$ が同じ符号であるということには、 $a>0$ かつ $b>0$ という場合もあるが、 $a<0$ かつ $b<0$ という場合もあるということである。その点において、この文章は“正しい”とはいいきれない。実際、 $a=-1$ 、 $b=-2$ のときは $ab=2>0$ であるが、 $a>0$ ではない。このように、成り立たない例が1つでもあれば、その文章は“正しくない”といえる。

命題と真・偽について

式や文章で表された事柄で、“正しい”か“正しくない”かのどちらか一方に定まるものを命題めいだい (proposition) という。「カレーライスはおいしい」のように、“正しい”か“正しくない”かの判断が人によって異なるものや、「今何時？」のように、“正しい”か“正しくない”がそもそも決定できないものは、命題として扱わない。

命題が“正しい”とき、その命題は真しん (true) であるといい、命題が“正しくない”とき、その命題は偽（ぎ） (false) であるという。

数を $a,b,c,\dots$ などのアルファベットで表すように、命題もアルファベットの $p,q$ などで表す。

定理1命題と真・偽

式や文章で表された事柄で、“正しい”か“正しくない”かのどちらか一方に定まるものを命題めいだい (proposition) という。命題が“正しい”とき、その命題は真しん (true) であるといい、命題が“正しくない”とき、その命題は偽（ぎ） (false) であるという。

問題1真・偽の判断

次の命題の真偽をいえ。

$1/2+1/3=2/5$
$2¹⁶=65536$
$x²=9$ ならば $x=3$
$x=3$ ならば $x²=9$
整数 $a$ 、 $b$ の積が偶数ならば、 $a$ または $b$ は偶数である。
整数 $a$ 、 $b$ の積が奇数ならば、 $a$ と $b$ はともに奇数である。

解答を見る

$1/2+1/3=3/6+2/6=5/6$ なので、この命題は

偽

である。
$2¹⁰=1024$ であるから、 $2¹⁶=2¹⁰\times2⁶=1024\times64=65536$ となるので、この命題は

真

である。
$x²=9$ のとき、 $x=-3, 3$ である。

$x=-3, 3$ の「 $,$ 」は「または」の意味である

よって、 $x=3$ とはいいきれないので、この命題は

偽である。
$x=3$ のときは、例外なく $x²=9$ となるので、この命題は

真

である。
$a$ と $b$ の偶奇には、（偶数,偶数）、（偶数,奇数）、（奇数,偶数）、（奇数,奇数）の4つの場合があるが、 $ab$ が偶数になるのは、（偶数,偶数）、（偶数,奇数）、（奇数,偶数）の3つの場合、つまり $a$ または $b$ が偶数の場合である。よって、この命題は

「 $a$ または $b$ は偶数」には、「 $a,b$ どちらか一方が偶数」だけでなく「 $a,b$ 両方とも偶数」の場合も含まれる

真

である。
5と同様に考えると、 $ab$ が偶数になるのは（偶数,偶数）、（偶数,奇数）、（奇数,偶数）の3つの場合であるから、 $ab$ が奇数になるのは、残る（奇数,奇数）の場合だけである。つまり、 $ab$ が奇数であるとき、 $a$ と $b$ はともに奇数である。よって、この命題は

真

である。

最終更新: 2026-08-12

この節についてAIに質問する

この節に書かれている内容だけを根拠に答えます。個人情報は書かないでください。

質問の内容