外積の計算法則

ベクトルの外積に関して，次の計算法則が成り立つ．

【証明】

ゼロベクトルを含む場合の成立は明らかなので，以下ベクトルはすべてゼロベクトルでないとする．

1. まず，$\vec{a} \times \vec{b}$ と$\vec{b} \times \vec{a}$ の大きさは，共に$\vec{a}$ と$\vec{b}$ で張られる平行四辺形の面積であり等しい．

   また，$\vec{a}$ から$\vec{b}$ へ右ねじを回して進む向きと，$\vec{b}$ から$\vec{a}$ へ右ねじを回して進む向きはちょうど逆になるから，$\vec{a} \times \vec{b}$ と$\vec{b} \times \vec{a}$ は互いに逆ベクトルとなり

   \[\vec{a} \times \vec{b} = −\vec{b} \times \vec{a}\]

   が成り立つ．

2. $ k = 0$ のときの成立は明らかなので，それ以外の場合について証明する．

   $\boldsymbol{k > 0}$ のとき

   まず，$\vec{a} \times (k\vec{b})$ と$k(\vec{b} \times\vec{a})$ の大きさは，共に$\vec{a}$ と$\vec{b}$ で張られる平行四辺形の面積を$k$ 倍したものであり等しい．

   また，$k\vec{b}$ と$\vec{b}$ は同じ向きを向いているから，$\vec{a}$ から$k\vec{b}$ へ右ねじを回して進む向きと，$\vec{a}$ から$\vec{b}$ へ右ねじを回して進む向きは等しくなる．

   $\boldsymbol{k < 0}$ のとき

   まず，$\vec{a} \times (k\vec{b})$ と$k(\vec{b} \times \vec{a})$ の大きさは，共に$\vec{a}$ と$\vec{b}$ で張られる平行四辺形の面積を$−k$倍したものであり等しい．

   また，$k\vec{b}$ と$\vec{b}$ は逆を向いているから，$\vec{a}$ から$k\vec{b}$ へ右ねじを回して進む向きと，$\vec{a}$ から$\vec{b}$ へ右ねじを回して進む向きは逆になり，$\vec{a} \times \vec{b}$ を$k$ 倍することにより，結局同じ向きを向く

   以上から，任意の実数$k$ に対して

   \[\vec{a} \times (k\vec{b}) = k(\vec{a} \times \vec{b})\]

   が成り立つ．

3. 

   まず準備として，$\vec{a}\times\vec{b}$ について少し考察しておく．

   右図のように，$\vec{a}，\vec{b}，$および$\vec{a}$に垂直な平面に$\vec{b}$ を正射影した$\vec{b’}$ を考える．

   このとき，$\vec{a}$ から$\vec{b}$ へ右ねじを回して進む向きと，$\vec{a}$ から$\vec{b’}$ へ右ねじを回して進む向きは等しい．また，$\vec{a}$ と$\vec{b}$ で張られる平行四辺形の面積と，$\vec{a}$と$\vec{b’}$ で張られる平行四辺形の面積も等しい．つまり

   \[\vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \times \vec{b’}\]

   が成り立つ．

   次に，$\vec{a} \times (\vec{b} +\vec{c})$ について考える．

   

   右図のように，$\vec{a}，\vec{b}，\vec{c}，$および$\vec{b} +\vec{c}$ をとる．さらに，$\vec{a}$ に垂直な平面にそれらを正射影した，$\vec{b’}，\vec{c’}，$および$(\vec{b} +\vec{c})’$ をとる．ここで，$(\vec{b} +\vec{c})’$ は，$\vec{b’}$と$\vec{c’}$ の和になっているので，$(\vec{b} +\vec{c})’= \vec{b’} + \vec{c’}$ である．

   このとき，さきほどの話から$\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})’，$つまり

   \[\vec{a} \times (\vec{b} +\vec{c}) = \vec{a} \times (\vec{b’} + \vec{c’})\]

   が成り立つ．

   

   この図を上からのぞき込んでみると，右図のようになる．

   このとき，たとえば$\vec{a} \times \vec{b’}$ は，$\vec{a}$ から$\vec{b’}$ に右ねじを回して進む向きをもち，$\vec{a}$ と$\vec{b’}$ で張られる平行四辺形（長方形）の面積を大きさにもつベクトルである．

   いいかえると，$\vec{a} \times \vec{b’}$ は，$\vec{b’}$ を$\vec{a}$ に垂直な平面内で反時計回りに$90^\circ$ 回転させた向きをもち， $ \left|\vec{b’}\right|$の$\left|\vec{a}\right|$ 倍の大きさをもつベクトルである．これは，$\vec{a} \times \vec{c’}，\vec{a} \times (\vec{b’} + \vec{c’})$ についても同様に考えることができ，$\vec{a} \times (\vec{b’} + \vec{c’})$ は，$\vec{a} \times \vec{b’}$ と$\vec{a} \times \vec{c’}$ で張られる平行四辺形の対角線を表すベクトルとなる．

   このことから

   \[\vec{a} \times (\vec{b’} + \vec{c’}) = \vec{a} \times \vec{b’} + \vec{a} \times \vec{c’}\]

   が成り立ち，$\vec{a} \times \vec{b’}，\vec{a} \times \vec{c’}$ がそれぞれ$\vec{a} \times \vec{b}，\vec{a} \times\vec{c}$ と等しくなることに注意すると

   \[\vec{a} \times (\vec{b} +\vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times\vec{c}\]

   がいえる．