数学B 第7章空間ベクトルと空間図形 — ベクトルの外積

この節の前提空間ベクトルの演算／空間ベクトルの内積

ベクトルの外積

ベクトルの外積の定義

任意の2 つのベクトル、 $a, b$ に対して外積という演算 $a \times b$ を次のように定義する。

先端を上に向けて垂直に描かれた右ねじがあり、下側の頭部に「右ねじの回転」、上側の先端の脇に「進む向き」という文字が添えられている。

始点を共有する手前のベクトルaと右への矢印があり、それらに垂直で上に伸びるベクトルa×ベクトルbが描かれている。ベクトルaからの回転向きと、ベクトルa×ベクトルbの長さを表すSが添えられている。

$a \neq 0$ かつ $b \neq 0$ のとき

$a$ と $b$ を含む平面内で、 $a$ の向きから $b$ の向きへの回転を考える。 $a \times b$ は、このような回転により右ねじが進む向きをもつベクトルであり、大きさは $a$ と $b$ によって張られる平行四辺形の面積とする。
$a = 0$ または $b = 0$ のとき

$a \times b = 0$

とする。

外積の計算法則

ベクトルの外積に関して、次の計算法則が成り立つ。

定理1外積に関する計算法則

$a \times b = -b \times a$
結合法則

$a \times (kb) = k(a \times b)$
分配法則

$a \times (b +c) = a \times b + a \timesc$

証明を見る

証明

ゼロベクトルを含む場合の成立は明らかなので、以下ベクトルはすべてゼロベクトルでないとする。

まず、 $a \times b$ と $b \times a$ の大きさは、共に $a$ と $b$ で張られる平行四辺形の面積であり等しい。

また、 $a$ から $b$ へ右ねじを回して進む向きと、 $b$ から $a$ へ右ねじを回して進む向きはちょうど逆になるから、 $a \times b$ と $b \times a$ は互いに逆ベクトルとなり

$a \times b = -b \times a$

が成り立つ。
$k = 0$ のときの成立は明らかなので、それ以外の場合について証明する。

$k > 0$ のとき

まず、 $a \times (kb)$ と $k(a \times b)$ の大きさは、共に $a$ と $b$ で張られる平行四辺形の面積を $k$ 倍したものであり等しい。

また、 $kb$ と $b$ は同じ向きを向いているから、 $a$ から $kb$ へ右ねじを回して進む向きと、 $a$ から $b$ へ右ねじを回して進む向きは等しくなる。

$k < 0$ のとき

まず、 $a \times (kb)$ と $k(a \times b)$ の大きさは、共に $a$ と $b$ で張られる平行四辺形の面積を $-k$ 倍したものであり等しい。

また、 $kb$ と $b$ は逆を向いているから、 $a$ から $kb$ へ右ねじを回して進む向きと、 $a$ から $b$ へ右ねじを回して進む向きは逆になり、 $a \times b$ を $k$ 倍することにより、結局同じ向きを向く

以上から、任意の実数 $k$ に対して

$a \times (kb) = k(a \times b)$

が成り立つ。
まず準備として、 $a\timesb$ について少し考察しておく。

上の図のように、 $a, b,$ および $a$ に垂直な平面に $b$ を正射影した $b’$ を考える。

このとき、 $a$ から $b$ へ右ねじを回して進む向きと、 $a$ から $b’$ へ右ねじを回して進む向きは等しい。また、 $a$ と $b$ で張られる平行四辺形の面積と、 $a$ と $b’$ で張られる平行四辺形の面積も等しい。つまり

$a \times b = a \times b’$

が成り立つ。

次に、 $a \times (b +c)$ について考える。

上の図のように、 $a, b, c,$ および $b +c$ をとる。さらに、 $a$ に垂直な平面にそれらを正射影した、 $b’, c’,$ および $(b +c)’$ をとる。ここで、 $(b +c)’$ は、 $b’$ と $c’$ の和になっているので、 $(b +c)’= b’ + c’$ である。

このとき、さきほどの話から $a\times(b+c) = a\times(b+c)’,$ つまり

$a \times (b +c) = a \times (b’ + c’)$

が成り立つ。

この図を上からのぞき込んでみると、次の図のようになる。

このとき、たとえば $a \times b’$ は、 $a$ から $b’$ に右ねじを回して進む向きをもち、 $a$ と $b’$ で張られる平行四辺形（長方形）の面積を大きさにもつベクトルである。

いいかえると、 $a \times b’$ は、 $b’$ を $a$ に垂直な平面内で反時計回りに $90°$ 回転させた向きをもち、 $|b’|$ の $|a|$ 倍の大きさをもつベクトルである。これは、 $a \times c’, a \times (b’ + c’)$ についても同様である。つまり、 $a$ に垂直な平面上のベクトル $x$ に $a \times x$ を対応させる操作は、この平面全体を反時計回りに $90°$ 回転させて $|a|$ 倍に拡大する操作にほかならない。回転と拡大は平行四辺形を平行四辺形に、その対角線を対角線に移すから、 $a \times (b’ + c’)$ は、 $a \times b’$ と $a \times c’$ で張られる平行四辺形の対角線を表すベクトルとなる。

このことから

$a \times (b’ + c’) = a \times b’ + a \times c’$

が成り立ち、 $a \times b’, a \times c’$ がそれぞれ $a \times b, a \timesc$ と等しくなることに注意すると

$a \times (b +c) = a \times b + a \timesc$

がいえる。

∎

外積の成分表示

成分表示された2 つのベクトル、 $a = ( ax ay az ) , b = ( bx by bz )$ の外積について考えてみよう。

まず、 $a, b$ は $ex = ( 1 0 0 ) , ey = ( 0 1 0 ) , ez = ( 0 0 1 )$ を用いて

$a =ax ex + ay ey + az ez$ $b =bx ex + by ey + bz ez$

と分解できる。

ここで、座標軸は右手系にとってあるとする。つまり、 $x$ 軸の正の向きから $y$ 軸の正の向きへ右ねじを回すと、 $z$ 軸の正の向きに進むということである。

$ex$ と $ey$ は大きさが $1$ で互いに垂直であるから、 $ex \times ey$ の大きさは1 辺の長さが $1$ の正方形の面積に等しく $1$ となり、向きは $ez$ と同じになる。同じように考えると

$ex \times ey = ez, ey \times ez = ex, ez \times ex = ey$

が成り立ち、計算法則1. より

$ey \times ex = -ez, ez \times ey = -ex, ex \times ez = -ey$

となる。

また、同じベクトルどうしでは張られる平行四辺形がつぶれて面積が $0$ になるから、 $ex \times ex = 0$ 、 $ey \times ey = 0$ 、 $ez \times ez = 0$ である。

さらに、計算法則2.、3. は $\times$ の右側についてのものであるが、計算法則1. とあわせると、左側についても

$(ka) \times b = k(a \times b), (a +b) \times c = a \times c + b \times c$

が成り立つ。たとえば2 つ目は、 $(a +b) \times c = -c \times (a +b) = -(c \times a + c \times b) = a \times c + b \times c$ とすればよい。

以上に注意して、 $a \times b$ を計算していくと

$a \times b =(ax ex + ay ey + az ez) \times (bx ex + by ey + bz ez) =axby( ex \times ey) + axbz( ex \times ez) + aybx(ey \times ex) + aybz(ey \times ez) + azbx(ez \times ex) + azby(ez \times ey) =axby(ez) + axbz(-ey) + aybx(-ez) + aybz( ex) + azbx(ey) + azby(-ex) =(aybz - azby) ex + (azbx - axbz)ey + (axby - aybx)ez$

となるので

$( ax ay az ) \times ( bx by bz ) = ( aybz - azby azbx - axbz axby - aybx )$

が成立する。

問題1外積の成分計算

$a = ( -2 1 5 ) , b = ( -1 -4 3 )$ とする。

$a \times b$ を成分で表せ。
$a \times b$ が $a, b$ それぞれと垂直になっていることを、内積を計算することによって確かめよ。

解答を見る

$成分成分成分 x 成分: 1 ・ 3 - (-4) ・ 5 = 23 y 成分: 5 ・ (-1) - 3 ・ (-2) = 1 z 成分: (-2) ・ (-4) - (-1) ・ 1 = 9$ $◀ （注） ( ax ay az ) \times ( bx by bz ) = ( aybz - azby azbx - axbz axby - aybx )$

より、 $a \times b = ( 23 1 9 )$
まず $◀ (a \times b) ・ a= ( arrayc 23 1 9 array ) ・ ( arrayc -2 1 5 array ) = 23 ・ (-2) + 1 ・ 1 + 9 ・ 5 = 0 （注） ( arrayc ax ay az array ) ・ ( arrayc bx by bz array ) = axbx + ayby + azbz$

となり、確かに $a \timesb$ と $a$ は垂直となっている。また

$◀ (a \times b) ・ b= ( arrayc 23 1 9 array ) ・ ( arrayc -1 -4 3 array ) = 23 ・ (-1) + 1 ・ (-4) + 9 ・ 3 = 0 （注） ( arrayc ax ay az array ) ・ ( arrayc bx by bz array ) = axbx + ayby + azbz$

となり、確かに $a\timesb$ と $b$ も垂直となっている。

最終更新: 2026-09-03

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