ベクトルの外積

ベクトルの外積の定義

任意の2 つのベクトル,$\vec{a},\vec{b}$ に対して外積という演算$\vec{a} \times \vec{b}$ を次のように定義する.

ベクトルの外積の定義の図その2
ベクトルの外積の定義の図その1
  1. $\boldsymbol{ \vec{a} \neq \vec{0}}$ かつ $\boldsymbol{ \vec{b} \neq \vec{0}}$ のとき

    $\vec{a}$ と$\vec{b}$ を含む平面内で,$\vec{a}$ の向きから$\vec{b}$ の向きへの回転を考える.$\vec{a} \times \vec{b}$ は,このような回転により右ねじが進む向きをもつベクトルであり,大きさは$\vec{a}$ と$\vec{b}$ によって張られる平行四辺形の大きさとする.

  2. ベクトルの外積の定義の図その3
  3. $\boldsymbol{\vec{a} = \vec{0}}$ または $\boldsymbol{\vec{b} = \vec{0}}$ のとき

    \[\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}\]

    とする.

外積の計算法則

ベクトルの外積に関して,次の計算法則が成り立つ.

外積に関する計算法則

  1. $\vec{a} \times \vec{b} = −\vec{b} \times \vec{a}$
  2. 結合法則

    $\vec{a} \times (k\vec{b}) = k(\vec{a} \times \vec{b})$
  3. 分配法則

    $\vec{a} \times (\vec{b} +\vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times\vec{c}$

【証明】

ゼロベクトルを含む場合の成立は明らかなので,以下ベクトルはすべてゼロベクトルでないとする.

  1. まず,$\vec{a} \times \vec{b}$ と$\vec{b} \times \vec{a}$ の大きさは,共に$\vec{a}$ と$\vec{b}$ で張られる平行四辺形の面積であり等しい.

    また,$\vec{a}$ から$\vec{b}$ へ右ねじを回して進む向きと,$\vec{b}$ から$\vec{a}$ へ右ねじを回して進む向きはちょうど逆になるから,$\vec{a} \times \vec{b}$ と$\vec{b} \times \vec{a}$ は互いに逆ベクトルとなり

    \[\vec{a} \times \vec{b} = −\vec{b} \times \vec{a}\]

    が成り立つ.

  2. $ k = 0$ のときの成立は明らかなので,それ以外の場合について証明する.

    $\boldsymbol{k > 0}$ のとき

    まず,$\vec{a} \times (k\vec{b})$ と$k(\vec{b} \times\vec{a})$ の大きさは,共に$\vec{a}$ と$\vec{b}$ で張られる平行四辺形の面積を$k$ 倍したものであり等しい.

    また,$k\vec{b}$ と$\vec{b}$ は同じ向きを向いているから,$\vec{a}$ から$k\vec{b}$ へ右ねじを回して進む向きと,$\vec{a}$ から$\vec{b}$ へ右ねじを回して進む向きは等しくなる.

    $\boldsymbol{k < 0}$ のとき

    まず,$\vec{a} \times (k\vec{b})$ と$k(\vec{b} \times \vec{a})$ の大きさは,共に$\vec{a}$ と$\vec{b}$ で張られる平行四辺形の面積を$−k$倍したものであり等しい.

    また,$k\vec{b}$ と$\vec{b}$ は逆を向いているから,$\vec{a}$ から$k\vec{b}$ へ右ねじを回して進む向きと,$\vec{a}$ から$\vec{b}$ へ右ねじを回して進む向きは逆になり,$\vec{a} \times \vec{b}$ を$k$ 倍することにより,結局同じ向きを向く

    以上から,任意の実数$k$ に対して

    \[\vec{a} \times (k\vec{b}) = k(\vec{a} \times \vec{b})\]

    が成り立つ.

  3. 外積に関する計算法則の図その1

    まず準備として,$\vec{a}\times\vec{b}$ について少し考察しておく.

    右図のように,$\vec{a},\vec{b},$および$\vec{a}$に垂直な平面に$\vec{b}$ を正射影した$\vec{b’}$ を考える.

    このとき,$\vec{a}$ から$\vec{b}$ へ右ねじを回して進む向きと,$\vec{a}$ から$\vec{b’}$ へ右ねじを回して進む向きは等しい.また,$\vec{a}$ と$\vec{b}$ で張られる平行四辺形の面積と,$\vec{a}$と$\vec{b’}$ で張られる平行四辺形の面積も等しい.つまり

    \[\vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \times \vec{b’}\]

    が成り立つ.

    次に,$\vec{a} \times (\vec{b} +\vec{c})$ について考える.

    外積に関する計算法則の図その2

    右図のように,$\vec{a},\vec{b},\vec{c},$および$\vec{b} +\vec{c}$ をとる.さらに,$\vec{a}$ に垂直な平面にそれらを正射影した,$\vec{b’},\vec{c’},$および$(\vec{b} +\vec{c})’$ をとる.ここで,$(\vec{b} +\vec{c})’$ は,$\vec{b’}$と$\vec{c’}$ の和になっているので,$(\vec{b} +\vec{c})’= \vec{b’} + \vec{c’}$ である.

    このとき,さきほどの話から$\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})’,$つまり

    \[\vec{a} \times (\vec{b} +\vec{c}) = \vec{a} \times (\vec{b’} + \vec{c’})\]

    が成り立つ.

    外積に関する計算法則の図その3

    この図を上からのぞき込んでみると,右図のようになる.

    このとき,たとえば$\vec{a} \times \vec{b’}$ は,$\vec{a}$ から$\vec{b’}$ に右ねじを回して進む向きをもち,$\vec{a}$ と$\vec{b’}$ で張られる平行四辺形(長方形)の面積を大きさにもつベクトルである.

    いいかえると,$\vec{a} \times \vec{b’}$ は,$\vec{b’}$ を$\vec{a}$ に垂直な平面内で反時計回りに$90^\circ$ 回転させた向きをもち, $ \left|\vec{b’}\right|$の$\left|\vec{a}\right|$ 倍の大きさをもつベクトルである.これは,$\vec{a} \times \vec{c’},\vec{a} \times (\vec{b’} + \vec{c’})$ についても同様に考えることができ,$\vec{a} \times (\vec{b’} + \vec{c’})$ は,$\vec{a} \times \vec{b’}$ と$\vec{a} \times \vec{c’}$ で張られる平行四辺形の対角線を表すベクトルとなる.

    このことから

    \[\vec{a} \times (\vec{b’} + \vec{c’}) = \vec{a} \times \vec{b’} + \vec{a} \times \vec{c’}\]

    が成り立ち,$\vec{a} \times \vec{b’},\vec{a} \times \vec{c’}$ がそれぞれ$\vec{a} \times \vec{b},\vec{a} \times\vec{c}$ と等しくなることに注意すると

    \[\vec{a} \times (\vec{b} +\vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times\vec{c}\]

    がいえる.

外積の成分表示

成分表示された2 つのベクトル,$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right) ,\vec{b} = \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ b_z\\ \end{array} \right)$ の外積について考えてみよう.

まず,$\vec{a},\vec{b}$ は$\vec{e_x} = \left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right) ,\vec{e_y} = \left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\ \end{array} \right) ,\vec{e_z} = \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\\ \end{array} \right)$ を用いて

\[\vec{a} =a_x \vec{e_x} + a_y \vec{e_y} + a_z \vec{e_z}\] \[\vec{b} =b_x \vec{e_x} + b_y \vec{e_y} + b_z \vec{e_z}\]

と分解できる.

$\vec{e_x} \times \vec{e_x} = \vec{0}$,$\vec{e_y} \times \vec{e_y} = \vec{0}$,$\vec{e_z} \times \vec{e_z} = \vec{0}$ であることに注意して,$\vec{a} \times \vec{b}$ を計算していくと

\begin{align} &\vec{a} \times \vec{b}\\ &=(a_x \vec{e_x} + a_y \vec{e_y} + a_z \vec{e_z}) \times (b_x \vec{e_x} + b_y \vec{e_y} + b_z \vec{e_z})\\ &=a_xb_y( \vec{e_x} \times \vec{e_y}) + a_xb_z( \vec{e_x} \times \vec{e_z})\\ &+ a_yb_x(\vec{e_y} \times \vec{e_x}) + a_yb_z(\vec{e_y} \times \vec{e_z})\\ &+ a_zb_x(\vec{e_z} \times \vec{e_x}) + a_zb_y(\vec{e_z} \times \vec{e_y})\\ &=a_xb_y(\vec{e_z}) + a_xb_z(−\vec{e_y}) \\ &+ a_yb_x(−\vec{e_z}) + a_yb_z( \vec{e_x}) \\ &+ a_zb_x(\vec{e_y}) + a_zb_y(−\vec{e_x})\\ &=(a_yb_z − a_zb_y) \vec{e_x} + (a_zb_x − a_xb_z)\vec{e_y}\\ & + (a_xb_y − a_yb_x)\vec{e_z} \end{align}

となるので

\[\left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ b_z\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a_yb_z − a_zb_y\\ a_zb_x − a_xb_z\\ a_xb_y − a_yb_x\\ \end{array} \right)\]

が成立する.

外積の成分計算

$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} −2\\ 1\\ 5\\ \end{array} \right) ,\vec{b} = \left( \begin{array}{c} −1\\ −4\\ 3\\ \end{array} \right)$ とする.

  1. $\vec{a} \times \vec{b}$ を成分で表せ.
  2. $\vec{a} \times \vec{b}$ が$\vec{a},\vec{b}$ それぞれと垂直になっていることを,内積を計算することによって確かめよ.

  1. \begin{align} x 成分&: 1 \cdot 3 − (−4) \cdot 5 = 23\\ y 成分&: 5 \cdot (−1) − 3 \cdot (−2) = 1 \\ z 成分&: (−2) \cdot (−4) − (−1) \cdot 1 = 9 \end{align} \[\blacktriangleleft \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ b_z\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a_yb_z − a_zb_y\\ a_zb_x − a_xb_z\\ a_xb_y − a_yb_x\\ \end{array} \right)\]

    より,$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{23}\\ \boldsymbol{1}\\ \boldsymbol{9}\\ \end{array} \right)$

  2. まず \begin{align} (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a}&= \left( \begin{array}{c} 23\\ 1\\ 9\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} −2\\ 1\\ 5\\ \end{array} \right)\\ &= 23 \cdot (−2) + 1 \cdot 1 + 9 \cdot 5 = 0 \\ &\blacktriangleleft \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ b_z\\ \end{array} \right)\\ &= a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z \end{align}

    となり,確かに$\vec{a} \times\vec{b}$ と$\vec{a}$ は垂直となっている.また

    \begin{align} (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b}&= \left( \begin{array}{c} 23\\ 1\\ 9\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} −1\\ −4\\ 3\\ \end{array} \right)\\ &= 23 \cdot (−1) + 1 \cdot (−4) + 9 \cdot 3 = 0 \\ &\blacktriangleleft \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ b_z\\ \end{array} \right)\\ &= a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z \end{align}

    となり,確かに$\vec{a}\times\vec{b}$ と$\vec{b}$ も垂直となっている.