$3^{-2}$の意味

$3^{ − 2}$の意味

指数法則1.は,指数が自然数の場合,すなわち,正の整数の場合について成り立つ性質であるが, ここでは,指数を$0$や負の整数を含む一般の整数にまで拡張することを考えてみよう.

仮に$3^{ − 2}$という数があったとして,その意味について考えてみよう. $3^2$が「$3$を$2$かけた数」であったから,$3^{ − 2}$は「$3$を $− 2$回かけた数」とでもなるのであろうが, 「 $− 2$回かける」では意味不明である.

そこで,「指数の仲間なのだから指数法則を満たすだろう」と考え,その体系の中で 矛盾が生じないよう「 $− 2$回かける」を決められないか(意味づけられないか) 少し考えてみよう.

たとえば,$3^6\times3^{-2}$という計算があったとして,これが指数法則1.を満たすとすると

\begin{align} 3^6\times3^{-2}=3^{6-2}=3^4 \end{align}

となる.ここで,$3^{ − 2}$を$X$で表すと

\begin{align} 3^6\times{X}=3^4 \end{align}

となる.この式を満たす$X$を求めると,$X=\dfrac{3^4}{3^6}=\dfrac{1}{3^2}$である. つまり,$3^{ − 2}$は$\dfrac{1}{3^2}$であると考えると都合がよい.