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指数の整数への拡張

32の意味

32の意味

指数法則1.は,指数が自然数の場合,すなわち,正の整数の場合について成り立つ性質であるが, ここでは,指数を0や負の整数を含む一般の整数にまで拡張することを考えてみよう.

仮に32という数があったとして,その意味について考えてみよう. 32が「32かけた数」であったから,32は「32回かけた数」とでもなるのであろうが, 「 2回かける」では意味不明である.

そこで,「指数の仲間なのだから指数法則を満たすだろう」と考え,その体系の中で 矛盾が生じないよう「 2回かける」を決められないか(意味づけられないか) 少し考えてみよう.

たとえば,36×32という計算があったとして,これが指数法則1.を満たすとすると

36×32=362=34

となる.ここで,32Xで表すと

36×X=34

となる.この式を満たすXを求めると,X=3436=132である. つまり,32132であると考えると都合がよい.

30の意味

30の意味

また,32×30という計算があったとして,これが指数法則1. を満たすとすると

32×30=32+0=32

となる.ここで,30Yで表すと

32×Y=32

となる.この式を満たすYを求めると,Y=3232=1である.つまり,301であると考えると都合がよい.

指数の整数への拡張について

指数の整数への拡張について

一般に,指数が自然数の場合に成り立つ指数法則1.において,指数x0のときにも成り立つとすると

a0ay=a0+y=ay

であるから,a0=1と考えると都合がよい.

さらに,指数法則1.xを正の整数として,y=xのときにも成り立つとすると

axax=axx=a0=1

であるから,ax=1axと考えると都合がよい(xが負の整数の場合も同様である).

整数に拡張された指数の定義

0でない実数aに関して,xが整数のとき

a0=1  ,   ax=1ax

とする.

例としてanをいくつか列挙すると次のようになる.

 ,  a3 ,  a2 , a1=a ,  a0=1 ,  a1=1a ,  a2=1a2 ,  a3=1a3 ,  

吹き出し指数の整数への拡張について

「マイナスx乗はx乗分の1になる」と覚えよう.

整数に拡張された指数法則

整数xyについて次のような性質が成り立つ. ただし,ab0でない実数とする.

  • 1.axay=ax+y
  • 2.(ax)y=axy
  • 3.(ab)x=axbx
  • 1'.axay=axy
  • 3'.(ab)x=axbx

整数に拡張された指数

x=3y=2として,整数に拡張された指数法則1.,2.,3. が成り立つのを確認せよ.

  1. の確認

    (左辺)=a3a2=a3×1a2=a

    (右辺)=a3+(2)=a

    となり,確かに成立する.

  2. の確認

    (左辺)=(a3)2=1(a3)2=1a6

    (右辺)=a3(2)=a6=1a6

    となり,確かに成立する.

  3. の確認

    (左辺)=(ab)2=1(ab)2=1a2b2

    (右辺)=a2b2=1a2×1b2=1a2b2

    となり,確かに成立する.

整数に拡張された指数法則1'., 3'.の証明

整数に拡張された指数法則1'.,3'. を,整数に拡張された指数法則1.,2.,3. を用いて証明せよ.

  • 1'.

    の証明

    axay=ax×1ay=ax×ay=axy 整数に拡張された指数法則1.
  • 3'.

    の証明

    (ab)x=(a×1b)x=(a×b1)x =ax×(b1)x 整数に拡張された指数法則3. =ax×bx 整数に拡張された指数法則2. =ax×1bx=axbx

指数の計算-その1-

次の計算をせよ.

  1. 22223
  2. 10102755
  3. (a2b)3(ab3)2
  4. (a5b2)3(a2b)5

  1. 計算していくと

    22223=22223 整数に拡張された指数法則1'. =212+3 整数に拡張された指数法則1. =2^2=\boldsymbol{4}
  2. 計算していくと

    \dfrac{10^{10}}{2^7\cdot5^5}=(10)^{10}\cdot2^{-7}\cdot5^{-5} \blacktriangleleft整数に拡張された指数法則1'. =(2\cdot5)^{10}\cdot2^{-7}\cdot5^{-5} =2^{10}\cdot5^{10}\cdot2^{-7}\cdot5^{-5} \blacktriangleleft整数に拡張された指数法則3. =2^{10-7}\cdot5^{10-5} \blacktriangleleft整数に拡張された指数法則1. =2^3\cdot5^5=\boldsymbol{25000}
  3. 計算していくと

    \dfrac{(a^2b)^3}{(-ab^3)^2}=\dfrac{a^6b^3}{a^2b^6} \blacktriangleleft整数に拡張された指数法則3. =a^6b^3a^{-2}b^{-6} \blacktriangleleft整数に拡張された指数法則1'. =a^{6-2}b^{3-6} \blacktriangleleft整数に拡張された指数法則1. =\boldsymbol{a^4b^{-3}}
  4. 計算していくと

    \dfrac{(a^5b^{-2})^{-3}}{(a^{-2}b)^5}=\dfrac{a^{-15}b^6}{a^{-10}b^5} \blacktriangleleft整数に拡張された指数法則3. =a^{-15}b^6a^{10}b^{-5} \blacktriangleleft整数に拡張された指数法則1'. =a^{-15+10}b^{6-5} \blacktriangleleft整数に拡張された指数法則1. =\boldsymbol{a^{-5}b}