指数の整数への拡張
3−2の意味
3−2の意味
指数法則1.は,指数が自然数の場合,すなわち,正の整数の場合について成り立つ性質であるが, ここでは,指数を0や負の整数を含む一般の整数にまで拡張することを考えてみよう.
仮に3−2という数があったとして,その意味について考えてみよう. 32が「3を2かけた数」であったから,3−2は「3を −2回かけた数」とでもなるのであろうが, 「 −2回かける」では意味不明である.
そこで,「指数の仲間なのだから指数法則を満たすだろう」と考え,その体系の中で 矛盾が生じないよう「 −2回かける」を決められないか(意味づけられないか) 少し考えてみよう.
たとえば,36×3−2という計算があったとして,これが指数法則1.を満たすとすると
36×3−2=36−2=34となる.ここで,3−2をXで表すと
36×X=34となる.この式を満たすXを求めると,X=3436=132である. つまり,3−2は132であると考えると都合がよい.
30の意味
30の意味
また,32×30という計算があったとして,これが指数法則1. を満たすとすると
32×30=32+0=32となる.ここで,30をYで表すと
32×Y=32となる.この式を満たすYを求めると,Y=3232=1である.つまり,30は1であると考えると都合がよい.
指数の整数への拡張について
指数の整数への拡張について
一般に,指数が自然数の場合に成り立つ指数法則1.において,指数xが0のときにも成り立つとすると
a0ay=a0+y=ayであるから,a0=1と考えると都合がよい.
さらに,指数法則1.がxを正の整数として,y=−xのときにも成り立つとすると
axa−x=ax−x=a0=1であるから,a−x=1axと考えると都合がよい(xが負の整数の場合も同様である).
整数に拡張された指数の定義
0でない実数aに関して,xが整数のとき
a0=1 , a−x=1axとする.
例としてanをいくつか列挙すると次のようになる.
⋯ , a3 , a2 , a1=a , a0=1 , a−1=1a , a−2=1a2 , a−3=1a3 , ⋯吹き出し指数の整数への拡張について
「マイナスx乗はx乗分の1になる」と覚えよう.
整数に拡張された指数法則
整数x,yについて次のような性質が成り立つ. ただし,a,bは0でない実数とする.
- 1.axay=ax+y
- 2.(ax)y=axy
- 3.(ab)x=axbx
- 1'.axay=ax−y
- 3'.(ab)x=axbx
整数に拡張された指数
x=3,y=−2として,整数に拡張された指数法則1.,2.,3. が成り立つのを確認せよ.
の確認
(左辺)=a3a−2=a3×1a2=a
(右辺)=a3+(−2)=a
となり,確かに成立する.
の確認
(左辺)=(a3)−2=1(a3)2=1a6
(右辺)=a3⋅(−2)=a−6=1a6
となり,確かに成立する.
の確認
(左辺)=(ab)−2=1(ab)2=1a2b2
(右辺)=a−2b−2=1a2×1b2=1a2b2
となり,確かに成立する.
整数に拡張された指数法則1'., 3'.の証明
整数に拡張された指数法則1'.,3'. を,整数に拡張された指数法則1.,2.,3. を用いて証明せよ.
- 1'.
の証明
axay=ax×1ay=ax×a−y=ax−y ◂ 整数に拡張された指数法則1. - 3'.
の証明
(ab)x=(a×1b)x=(a×b−1)x =ax×(b−1)x ◂ 整数に拡張された指数法則3. =ax×b−x ◂ 整数に拡張された指数法則2. =ax×1bx=axbx
指数の計算-その1-
次の計算をせよ.
- 2⋅2−22−3
- 101027⋅55
- (a2b)3(−ab3)2
- (a5b−2)−3(a−2b)5
- 計算していくと 2⋅2−22−3=2⋅2−2⋅23 ◂ 整数に拡張された指数法則1'. =21−2+3 ◂整数に拡張された指数法則1. =2^2=\boldsymbol{4}
- 計算していくと \dfrac{10^{10}}{2^7\cdot5^5}=(10)^{10}\cdot2^{-7}\cdot5^{-5} \blacktriangleleft整数に拡張された指数法則1'. =(2\cdot5)^{10}\cdot2^{-7}\cdot5^{-5} =2^{10}\cdot5^{10}\cdot2^{-7}\cdot5^{-5} \blacktriangleleft整数に拡張された指数法則3. =2^{10-7}\cdot5^{10-5} \blacktriangleleft整数に拡張された指数法則1. =2^3\cdot5^5=\boldsymbol{25000}
- 計算していくと \dfrac{(a^2b)^3}{(-ab^3)^2}=\dfrac{a^6b^3}{a^2b^6} \blacktriangleleft整数に拡張された指数法則3. =a^6b^3a^{-2}b^{-6} \blacktriangleleft整数に拡張された指数法則1'. =a^{6-2}b^{3-6} \blacktriangleleft整数に拡張された指数法則1. =\boldsymbol{a^4b^{-3}}
- 計算していくと \dfrac{(a^5b^{-2})^{-3}}{(a^{-2}b)^5}=\dfrac{a^{-15}b^6}{a^{-10}b^5} \blacktriangleleft整数に拡張された指数法則3. =a^{-15}b^6a^{10}b^{-5} \blacktriangleleft整数に拡張された指数法則1'. =a^{-15+10}b^{6-5} \blacktriangleleft整数に拡張された指数法則1. =\boldsymbol{a^{-5}b}