3文字3次式の因数分解

立方の公式1でも触れたが、$(a+b)^3$ を展開すると \[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\] であるから \begin{align} &a^3+b^3=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2\\ \Leftrightarrow&a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\tag{1}\label{3moji3jisikinoinsubunkai} \end{align} が成り立つ。これを用いることにより、$a^3+b^3+c^3−3abc$ は、次の例題でみるように因数分解できる。

暗記3文字3次式の因数分解

$a^3+b^3+c^3-3abc$ を因数分解せよ。

\begin{align} &a^3+b^3+c^3-3abc\\ =&\left\{a^3+b^3\right\}+c^3-3abc\\ &\blacktriangleleft a^3+b^3に着目して\cdots\\ =&\left\{(a+b)^3-3ab(a+b)\right\}+c^3-3abc\\ &\blacktriangleleft \eqref{3moji3jisikinoinsubunkai}を使った\\ =&(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc\\ =&\underbrace{(a+b)^3+c^3}_{◯}\underbrace{-3ab(a+b)-3abc}_{□}\\ &\blacktriangleleft 今度は(a+b)^3+c^3に着目する\\ =&\underbrace{\left\{(a+b)+c\right\}\left\{(a+b)^2-(a+b)c+c^2\right\}}_{◯}\\ &\qquad\underbrace{-3ab\left\{(a+b)+c\right\}}_{□}\\ &\blacktriangleleft ◯の部分は、a+b=X、c=Yとみて\\ &{\qquad}X^3+Y^3=(X+Y)(X^2−XY+Y^2)\\ &\qquadの因数分解を使った\\ =&(a+b+c)\left\{a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right\}\\ &\qquad-3ab(a+b+c)\\ =&(a+b+c)\\ &\qquad(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab)\\ &\blacktriangleleft 共通因数(a+b+c)でくくった\\ =&(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\\ \end{align}

3変数3次式の因数分解

\begin{align}&a^3+b^3+c^3-3abc\\ =&(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\end{align}

吹き出し無題

この因数分解は忘れやすいので、上のように結果を導出できるように練習しておくとよい。

3文字3次式の因数分解

次の式を因数分解せよ。

  1. $27a^3+8b^3+c^3-18abc$
  2. $x^3+y^3-1+3xy$

  1. \[\begin{align} &(3a)^3+(2b)^3+c^3-3(3a)(2b)c\\ =&\boldsymbol{\left(3a+2b+c\right)}\\ &\boldsymbol{(9a^2+4b^2+c^2}\\ &\qquad\boldsymbol{-6ab-2bc-3ca)} \end{align}\]
  2. \[\begin{align} &x^3+y^3+(-1)^3-3xy(-1)\\ =&\boldsymbol{\left(x+y-1\right)}\\ &\qquad\boldsymbol{\left(x^2+y^2+1-xy+y+x\right)} \end{align}\]