いろいろな因数分解

どの因数分解の手段を用いるかどうかは、だいたい次の優先順位で考えるとよい。 方針がわからないときは、ひとまずこの順序で考えてみよう。

  1. 共通因数を見つける
  2. 次数の小さい文字に注目し、降べきの順に並べる。
  3. 公式を使えないか考える。

因数分解の練習~その2~

次の式を因数分解せよ。

  1. $xy-x-y+1$
  2. $a^2+b^2+ac-bc-2ab$
  3. $x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y) $
  4. $ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) $
  5. $x^4+x^2+1$
  6. $a^4+64$
  7. $x^2-xy-12y^2+5x+y+6$
  8. $2x^2-y^2-xy+3x+3y-2$

  1. \begin{align} &xy-x-y+1\\ =&(y-1)x-(y-1)\\ =&\boldsymbol{(x-1)(y-1)} \end{align} ←$x$と$y$はともに1次式なので、とりあえず$x$で整理する
  2. $c$について降べきの順に整理すると \begin{align} &(a-b)c+a^2+b^2-2ab\\ =&(a-b)c+(a-b)^2\\ =&(a-b)c+(a-b)(a-b)\\ =&\boldsymbol{(a-b)(a-b+c)} \end{align} ←$a$と$b$は2次であり$c$は1次であるから$c$で整理する
  3. $x$について降べきの順に整理すると \begin{align} &(y-z)x^2-(y^2-z^2)x+y^2z-yz^2\\ =&(y-z)x^2\\ &\qquad-(y+z)(y-z)x+yz(y-z)\\ =&(y-z)\left\{x^2-(y+z)x+yz\right\}\\ =&\boldsymbol{(y-z)(x-y)(x-z)} \end{align} ←すべての文字は2次で等しいので、とりあえず$x$で整理する
  4. $a$について降べきの順に整理すると \begin{align} &(b-c)a^2-(b^2-c^2)a+b^2c-bc^2\\ =&(b-c)a^2\\ &\qquad-(b+c)(b-c)a+bc(b-c)\\ =&(b-c)\left\{a^2-(b+c)a+bc\right\}\\ =&\boldsymbol{(b-c)(a-b)(a-c)} \end{align} ←すべての文字は2次で等しいので、とりあえず$a$で整理する
  5. $x^4$と$1$に着目して \begin{align} &x^4+1+x^2\\ =&(x^2+1)^2-2x^2+x^2\\ =&(x^2+1)^2-x^2\\ =&(x^2+1+x)(x^2+1-x)\\ =&\boldsymbol{(x^2+x+1)(x^2-x+1)} \end{align} ←複2次式の因数分解参照
  6. $a^4$と$64$に着目して \begin{align} &(a^2+8)^2-16a^2\\ =&(a^2+8+4a)(a^2+8-4a)\\ =&\boldsymbol{(a^2+4a+8)(a^2-4a+8)} \end{align} ←複2次式の因数分解参照
  7. $x$について降べきの順にし、定数項を因数分解すると \begin{align} &x^2-xy-12y^2+5x+y+6\\ =&x^2+(-y+5)x-(12y^2-y-6)\\ =&x^2+(-y+5)x-(3y+2)(4y-3) \end{align} となる。これを元に表を書けば
    $~$$x$$3y+2$
    $x$$x^2$$(3y+2)x$
    $-(4y-3)$$-(4y-3)x$$-(3y+2)$
    $\quad(4y-3)$
    となるので、$\boldsymbol{(x-4y+3)(x+3y+2)}$と因数分解できる。
    ←難度の高い因数分解#2文字2次式の因数分解参照
    $~$$x$$-3y$$2$
    $x$$x^2$$-3xy$$2x$
    $-4y$$-4xy$$-12y^2$$-8y$
    $3$$3x$$9y$$6$
    という表を作ってもよい。
  8. $x$について降べきの順にし、定数項を因数分解すると \begin{align} &2x^2-y^2-xy+3x+3y-2\\ =&2x^2+(-y+3)x-(y^2-3y+2)\\ =&2x^2+(-y+3)x-(y-1)(y-2) \end{align} となる。これを元に表を書けば
    $~$$x$$-(y-2)$
    $2x$$2x^2$$(-2y+4)x$
    $(y-1)$$(y-1)x$$-(y-1)(y-2)$
    となるので、$\boldsymbol{(x-y+2)(2x+y-1)}$と因数分解できる。
    ←難度の高い因数分解#2文字2次式の因数分解参照
    $~$$x$$-y$$2$
    $2x$$2x^2$$-2xy$$4x$
    $y$$xy$$-y^2$$2y$
    $-1$$-x$$y$$-2$
    という表を作ってもよい。