『3項の平方の公式』を逆に利用した因数分解

3項の平方の公式の逆利用

5.$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$

3項の平方の公式を逆に利用した因数分解

次の式を因数分解せよ。

  1. $a^2+4b^2+c^2+4ab+4bc+2ca$
  2. $4x^2+y^2+1+4xy+2y+4x$
  3. $4a^2+b^2+1+4ab−2b−4a$
  4. $x^2+4y^2+9z^2−4xy+12yz−6zx$

  1. \begin{align} &a^2+4b^2+c^2+4ab+4bc+2ca\\ =&a^2+(2b)^2+c^2\\ &\qquad+2\cdot{a(2b)}+2\cdot{(2b)c}+2\cdot{ca}\\ =&\boldsymbol{(a+2b+c)^2} \end{align} \begin{array}{c|c|} &a&2b&c\\\hline{a}&a^2&2ab&ac\\\hline2b&2ab&4b^2&2bc\\\hline{c}&ac&2bc&c^2\\\hline \end{array}
  2. \begin{align} &4x^2+y^2+1+4xy+2y+4x\\ =&(2x)^2+y^2+1^2+2\cdot(2x) y\\ &\qquad+2\cdot y\cdot 1+2\cdot 1\cdot{x}\\ =&\boldsymbol{(2x+y+1)^2} \end{align} \begin{array}{c|c|} &2x&y&1\\\hline2x&4x^2&2xy&2x\\\hline{y}&2xy&y^2&y\\\hline1&2x&y&1\\\hline \end{array}
  3. \begin{align} &4a^2+b^2+1+4ab-2b-4a\\ =&(2a)^2+b^2+(-1)^2+2\cdot(2a)b\\ &\qquad+2\cdot b(-1)+2\cdot(-1)a\\ =&\boldsymbol{(2a+b-1)^2} \end{align} \begin{array}{c|c|} &2a&b&-1\\\hline2a&4a^2&2ab&-2a\\\hline{b}&2ab&b^2&-b\\\hline-1&-2a&-b&1\\\hline \end{array}
  4. \begin{align} &x^2+4y^2+9z^2-4xy+12yz-6zx\\ =&x^2+(2y)^2+(3z)^2+2\cdot{x(-2y)}\\ &\qquad+2\cdot{(-2y)(-3z)}+2\cdot{(-3z)x}\\ =&\boldsymbol{(x-2y-3z)^2} \end{align} \begin{array}{c|c|} &x&-2y&-3z\\\hline{x}&x^2&-2xy&-3xz\\\hline-2y&-2xy&4y^2&6yz\\\hline-3z&-3xz&6yz&9z^2\\\hline \end{array}