『1次式の積の公式』を逆に利用した因数分解
1次式の積の公式の逆利用
- 3.$x^2+(b+d)x+bd=(x+b)(x+d)$
- 4.$\begin{align}&acx^2+(ad+bc)x+bd\\=&(ax+b)(cx+d)\end{align}$
まず、簡単な例として $x^2+5x+6$ の因数分解の手順を考えてみよう。
STEP1 \begin{array}{c||c|} &&\\\hline&\boldsymbol{x^2}&\\\hline &&\boldsymbol{6}\\\hline \end{array} 展開して $x^2+5x+6$ になる1次式の積を考えるため、まず上図のように表を書く。表のます目の中には、$x^2$ の項と定数項を斜めに書いておく。
STEP2 \begin{array}{c||c|} &\boldsymbol{x}&\boldsymbol{6}\\\hline\boldsymbol{x}&x^2&\\\hline \boldsymbol{1}&&6\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} &\boldsymbol{x}&\boldsymbol{3}\\\hline\boldsymbol{x}&x^2&\\\hline \boldsymbol{2}&&6\\\hline \end{array} $x^2$ を分解すると $x\times{x}$ になり、$6$ を分解すると $1\times6$ または $2\times3$ になることから、上の2つの表を作る
(6の分解には、$(-1)\times(-6)$や$(-2)\times(-3)$なども考えられる。しかし、$x$の係数が正の数$5$なので、この因数分解ではその可能性はない)
STEP3 \begin{array}{c|c|} \times&x&6\\\hline{x}&x^2&\boldsymbol{6x}\\\hline1&\boldsymbol{x}&6\\\hline \end{array} \begin{array}{c|c|} \bigcirc&x&3\\\hline{x}&x^2&\boldsymbol{3x}\\\hline2&\boldsymbol{2x}&6\\\hline \end{array} 表の残りの部分を埋めることにより、新しくできた右の太字の式を加えて、$x$ の係数が $5$ になっているほうを選び、それを利用して因数分解すれば完成である \[x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\]
1次式の積の公式を逆に利用した因数分解～その１～
次の式を因数分解せよ。
- $x^2+10x+21$
- $x-2-6x+8$
- $a^2+3ab−18b^2$
- $a^2-4a-32$
- \begin{align} &x^2+10x+21\\ =&x^2+(3+7)x+3\cdot7\\ =&\boldsymbol{(x+3)(x+7)} \end{align} $\blacktriangleleft$ 下の表には、因数分解するときに作られるであろう表の例(一部)を載せてある。 \begin{array}{c||c|} \times&x&21\\\hline{x}&x^2&21x\\\hline1&x&21\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \bigcirc&x&7\\\hline{x}&x^2&7x\\\hline3&3x&21\\\hline \end{array}
- \begin{align} &x^2-6x+8\\ =&x^2+(-2-4)x+(-2)(-4)\\ =&\boldsymbol{(x-2)(x-4)} \end{align} \begin{array}{c||c|} \times&x&-8\\\hline{x}&x^2&-8x\\\hline-1&-x&8\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \bigcirc&x&-4\\\hline{x}&x^2&-4x\\\hline-2&-2x&8\\\hline \end{array}
- \begin{align} &a^2+3ab-18b^2\\ =&a^2+(-3b+6b)a+(-3b)(6b)\\ =&\boldsymbol{(a-3b)(a+6b)} \end{align} \begin{array}{c||c|} \times&a&18b\\\hline{a}&a^2&18ab\\\hline-b&-ab&-18b^2\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \times&a&9b\\\hline{a}&a^2&9ab\\\hline-2b&-2ab&-18b^2\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \bigcirc&a&6b\\\hline{a}&a^2&6ab\\\hline-3b&-3ab&-18b^2\\\hline \end{array}
- \begin{align} &a^2-4a-32\\ =&a^2+(4-8)a+4\cdot(-8)\\ =&\boldsymbol{(a+4)(a-8)} \end{align} \begin{array}{c||c|} \bigcirc&a&-8\\\hline{a}&a^2&-8a\\\hline4&4a&-32\\\hline \end{array}
次に、少し難しい例として $3x^2+11x+6$ の因数分解を考えてみよう。
STEP1
展開して $3x^2+11x+6$ になる1次式の積を考えるため、まず右のように表を書く。さきほどと同じように、表のます目の中には、$x^2$ の項と定数項を斜めに書いておく。
\begin{array}{c||c|}
&&\\\hline&\boldsymbol{3x^2}&\\\hline&&\boldsymbol{6}\\\hline
\end{array}
STEP2
$3x^2$ を分解すると $x\times{3x}$ になり、$6$ を分解すると $1\times6$ または $2\times3$ になることから、右の4つの表を作る（$6$ の分解には、$(-1)\times(-6)$ や $(-2)\times(-3)$ なども考えられる。しかし、やはりさきほどと同じように、$x$ の係数が正の数 $11$ なので、この因数分解ではその可能性はない）
\begin{array}{c||c|}
&3x&6\\\hline{x}&3x^2&\\\hline1&&6\\\hline
\end{array}
\begin{array}{c||c|}
&3x&3\\\hline{x}&3x^2&\\\hline2&&6\\\hline
\end{array}
\begin{array}{c||c|}
&3x&2\\\hline{x}&3x^2&\\\hline3&&6\\\hline
\end{array}
\begin{array}{c||c|}
&3x&1\\\hline{x}&3x^2&\\\hline6&&6\\\hline
\end{array}
STEP3
表の残りの部分を埋めることにより、新しくできた右の太字の式を加えて、$x$ の係数が $11$ になっているものを選び、それを利用して因数分解すれば完成である。
\begin{array}{c||c|}
\times&3x&6\\\hline{x}&3x^2&6x\\\hline1&3x&6\\\hline
\end{array}
\begin{array}{c||c|}
\times&3x&3\\\hline{x}&3x^2&3x\\\hline2&6x&6\\\hline
\end{array}
\begin{array}{c||c|}
\bigcirc&3x&2\\\hline{x}&3x^2&2x\\\hline3&9x&6\\\hline
\end{array}
\begin{array}{c||c|}
\times&3x&1\\\hline{x}&3x^2&x\\\hline6&18x&6\\\hline
\end{array}
\[3x^2+11x+6=(x+3)(3x+2)\]
吹き出し無題
上では説明の都合上、少々多めに表を作ったが、慣れてくると正解の表を一発でかけるようになる。初めのうちは試行錯誤して、コツをつかむことが大切である。
1次式の積の公式を逆に利用した因数分解～その2～
次の式を因数分解せよ。
- $2x^2+3x+1$
- $5a^2+7ab+2b^2$
- $8x^2-10xy+3y^2$
- $12a^2+7a-12$
$\blacktriangleleft$ 因数分解するときに作られるであろう、たすきがけの例（の一部）を載せておく。
- \begin{align} &2x^2+3x+1\\ =&2x^2+(2+1)x+1\\ =&\boldsymbol{(x+1)(2x+1)} \end{align} \begin{array}{c||c|} \bigcirc&2x&1\\\hline{x}&x^2&x\\\hline1&2x&1\\\hline \end{array}
- \begin{align} &5a^2+7ab+2b^2\\ =&5a^2+(5+2)ab+2b^2\\ =&\boldsymbol{(a+b)(5a+2b)} \end{align} \begin{array}{c||c|} \bigcirc&5a&2b\\\hline{a}&5a^2&2ab\\\hline{b}&5ab&2b^2\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \times&5a&b\\\hline{a}&5a^2&ab\\\hline2b&10ab&2b^2\\\hline \end{array}
- \begin{align} &8x^2-10xy+3y^2\\ =&8x^2+(-6-4)xy+3y^2\\ =&\boldsymbol{(2x-y)(4x-3y)} \end{align} \begin{array}{c||c|} \times&8x&-3y\\\hline{x}&8x^2&-3xy\\\hline-y&-8xy&3y^2\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \times&8x&-y\\\hline{x}&8x^2&-xy\\\hline-3y&-24xy&3y^2\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \bigcirc&4x&-3y\\\hline2x&8x^2&-6xy\\\hline-y&-4xy&3y^2\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \times&4x&-y\\\hline2x&8x^2&-2xy\\\hline-3y&-12xy&3y^2\\\hline \end{array}
- \begin{align} &12a^2+7a-12\\ =&12a^2+(16-9)a-12\\ =&\boldsymbol{3b(3a+2)(a-2)} \end{align} \begin{array}{c||c|} \times&4a&3\\\hline3a&12a^2&9a\\\hline-4&-16a&-12\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \bigcirc&4a&-3\\\hline3a&12a^2&-9a\\\hline4&16a&-12\\\hline \end{array}