扇形の弧の長さと面積

扇形の弧の長さと面積

扇形の弧の長さと面積を，弧度法をもちいて表してみよう．

図のように半径が $r$ ,中心角が $\theta$ の扇形の弧の長さを $l$ ,面積を $\text{S}$ とすると，弧度法の定義より $\theta=\dfrac{l}{r}$ だから

$\begin{align} \therefore~&l=r\theta \end{align}$

$\tag{1}\label{ougigatanokononagasatomenseki1}$

面積と中心角の比から

$\begin{align} \qquad{\text{S}}:\theta=\pi r^2:2\pi \end{align}$

$\begin{align} \therefore~&\text{S}=\dfrac{1}{2}r^2\theta \end{align}$

$\tag{2}\label{ougigatanokononagasatomenseki2}$

以上， $\eqref{ougigatanokononagasatomenseki1}$ ， $\eqref{ougigatanokononagasatomenseki2}$ より， $\text{S}=\dfrac{1}{2}rl$ となる．

半径が $r$ ,中心角が $\theta$ の扇形の弧の長さを $l$ ,面積を $\text{S}$ とすると

$\begin{align} &l=r\theta\\ &\text{S}=\dfrac{1}{2}r^2\theta=\dfrac{1}{2}rl \end{align}$

である．

吹き出し扇形の弧の長さと面積

図のように，扇形を，あたかも底辺が $l$ ,高さが $r$ の三角形のように考え， (底辺) $\times$ (高さ) $\div 2$ から， $\text{S}=\dfrac{1}{2}rl$ と覚えておけばよい．

次のような扇形の弧の長さ $l$ と面積 $\text{S}$ を求めよ．

$l=9\times\dfrac{2}{3}\pi=\boldsymbol{6\pi},$
$\text{S}=\dfrac{1}{2}\times9\times6\pi=\boldsymbol{27\pi}$
$l=3\times\dfrac{\pi}{5}=\boldsymbol{\dfrac{3}{5}\pi},$
$\text{S}=\dfrac{1}{2}\times3\times\dfrac{3}{5}\pi=\boldsymbol{\dfrac{9}{10}\pi}$