弧度法の定義

弧度法の定義

そこで,これらの不便を解消するための新しい角度を導入しよう.

弧度法

無題

無題 (注)

弧の長さが$l$,半径が$r$の円弧のなす中心角$\theta$を

\begin{align} \theta=\dfrac{l}{r} \end{align}

で定義する.

このような角度の表し方を弧度法(circular measure) という. 弧度法は比で角度の大きさを表すため,単位が無いが,あえて単位を付けたいときにはラジアン(radian) 弧度をもちいる.

無題

無題

上の定義において,$r = 1$とすると$\theta = l$となる. これは,単位円で考えたときには,中心角は対応する弧の長さで表されることを意味している. すなわち

\begin{align} 360^\circ=2\pi \end{align}ラジアン

である.

主な角について,度数法と弧度法の値をまとめると次のようになる.

度数法$0^\circ$$30^\circ$$45^\circ$$60^\circ$$90^\circ$$120^\circ$
弧度法$0$$\dfrac{\pi}{6}$$\dfrac{\pi}{4}$$\dfrac{\pi}{3}$$\dfrac{\pi}{2}$$\dfrac{2}{3}\pi$

度数法$135^\circ$$150^\circ$$180^\circ$$270^\circ$$360^\circ$
弧度法$\dfrac{3}{4}\pi$$\dfrac{5}{6}\pi$$\pi$$\dfrac{3}{2}\pi$$2\pi$

弧度法についても動径の表す角について,次のことがいえる.

弧度法での動径の表す角

動径$\text{OP}$と始線$\text{OX}$のなす角の1つを$\alpha$とすると,動径$\text{OP}$の表す角$\theta$は

\begin{align} \theta=\alpha+2n\pi \end{align}($n$は整数)

のようにあらわされる.

度数法を弧度法になおす

次の角を弧度法で表せ.また,$\alpha + 2n \pi $($n$は整数)の形で表せ.ただし,$0\leqq\alpha<2\pi$とする.

  1. $15^\circ$
  2. $550^\circ$
  3. $80^\circ$
  4. $-570^\circ$

  1. $\boldsymbol{\dfrac{\pi}{12}},\boldsymbol{\dfrac{\pi}{12}+2n\pi}$
  2. $\boldsymbol{\dfrac{55}{18}\pi},\boldsymbol{\dfrac{19}{18}\pi+2n\pi}$
  3. $\boldsymbol{\dfrac{4}{9}\pi},\boldsymbol{\dfrac{4}{9}\pi+2n\pi}$
  4. $\boldsymbol{-\dfrac{19}{6}\pi},\boldsymbol{\dfrac{5}{6}\pi+2n\pi}$

弧度法を度数法になおす

次の角を度数法で表せ.

  1. $8\pi$
  2. $-\dfrac{7}{3}\pi$
  3. $-\dfrac{43}{12}\pi$
  4. $-\dfrac{21}{10}\pi$

  1. $\boldsymbol{1440^\circ}$
  2. $\boldsymbol{-420^\circ}$
  3. $\boldsymbol{-645^\circ}$
  4. $\boldsymbol{-378^\circ}$