2円の共通接線

2円の共通接線の本数は，2円の位置関係によって異なる．

共通接線の方程式を求めるには，問題を図示し，図形的に考えることが不可欠である．

2つの円$C_1:(x+1)^2 +(y+1)^2=4,C_2:(x_2)^2 +(y-2)^2=1$がある．この2円に対し，共通内接線$l$，共通外接線$L$を考え， 2本ある$L$の交点を$P$とする．

次の図のようにして，
2本の$l$は軸に平行な直線と分かり，その方程式は$\boldsymbol{x=1,~y=1}$である．
次の図のように， 2円の中心を$A，B$， 2接点を$S，T$とする．このとき，$\triangle{PSA}\backsim\triangle{PTB}$ であり，その相似比は$SA:TB = 2:1$．
よって，$AP:PB = 2:1$であるから，$ B$は線分の$AP$の中点となる．$P(a,~b)$とおけば
\begin{align} &\left(\dfrac{-1+a}{2},\dfrac{-1+b}{2}\right)=(2,~2)\\ &~~\Leftrightarrow~~(a,~b)=(5,~5) \end{align}
よって，$\boldsymbol{P(5,~5)}$である．
$L$の傾きを$m$とおく．$L$は$P$を通るので
\begin{align} &y-5=m(x-5)~~\\ \Leftrightarrow&~~mx - y -5m +5=0 \end{align}
が$L$の方程式となる．この直線と$B$の距離が，円$C_2$の半径$1$に等しくなればよいので
\begin{align} &\dfrac{|m\cdot 2 -2 -5m +5|}{\sqrt{m^2+1}}=1\\ \Leftrightarrow~&|-3m+3|=\sqrt{m^2+1}\\ \Leftrightarrow~&(3m-3)^2=m^2+1\\ \Leftrightarrow~&4m^2 -9m +4=0\\ &\therefore ~~\boldsymbol{m=\dfrac{9 \pm\sqrt{17}}{8}} \end{align}