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対称式の基本定理

証明は高校の程度を越えるが，一般に次のことが知られている．

対象式の基本定理

すべての対称式は，基本対称式の和，差，積，商の組合せで表すことができる．

対象式を基本対象式の組み合わせで表す

x+y=A，xy=B とするとき，次の各式を A，B を用いて表せ．

  1. x2+y2
  2. x3+y3+x+y
  3. 1x+1y
  4. yx+xy

  1. x2+y2

    =(x+y)2−2xy

    =\boldsymbol{A^2-2B}

  2. x^3+y^3+x+y

    =(x+y)^3-3xy(x+y)+(x+y)

    　　　　　　 \blacktriangleleft x^3 + y^3 = (x + y)^3 − 3xy(x + y) を利用した

    　 =\boldsymbol{A^3-3AB+A}

  3. \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}

    =\dfrac{y}{xy}+\dfrac{x}{xy}

    　　　　　 \blacktriangleleft 通分した

    =\dfrac{x+y}{xy}

    =\boldsymbol{\dfrac{A}{B}}

  4. \dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}

    =\dfrac{y^2}{xy}+\dfrac{x^2}{xy} 　　　　　　 \blacktriangleleft 通分した

    =\dfrac{x^2+y^2}{xy} 　　　　　　 \blacktriangleleft (1)が使える形にした =\boldsymbol{\dfrac{A^2-2B}{B}}