対称式の定義

次の6つの式

$1) x+y \ \ \ 2) xy \ \ \ 3) x^2+y^2$

$4) \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \ \ \ 5) 2x^3+3y^2 \ \ \ 6) \dfrac{2}{x}+\dfrac{y}{2}$

において,各式の中の $x$ と $y$ を入れ換えてみると

$1)' x+y \ \ \ 2)' yx \ \ \ 3)' y^2+x^2$

$4)' \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x} \ \ \ 5)' 2y^3+3x^2 \ \ \ 6)' \dfrac{2}{y}+\dfrac{x}{2}$

となる.

ここで,式 $1)'~4)'$ はそれぞれ元の式 $1)~4)$ と恒等的に等しく, $5)'$ と $6)'$ はそれぞれ元の $5)$ , $6)$ と等しくない.

このように,文字を入れ換えても,式が変わるものと変わらないものとがあり, 変わらないものを対称式という.

対称式の定義

式の中の文字 $x, y$ を入れ換えても,同じ式となる式のことを, その文字に関する対称式(symmetric expression)という.

対称式の中でも特に

\[x+y\] \[xy\]

の2式を,基本対称式(elementary symmetric expression)という.