確率変数の和の期待値

確率変数 $X$ の確率分布が $P(X=x_i)=p_{x_i}\quad(i=1,2,\cdots,n)$ ，確率変数 $Y$ の確率分布が $P(Y=y_i)=p_{y_j}\quad(j=1,2,\cdots,m)$ ，となる試行を考える．

$X$ が値 $x$ をとり， $Y$ が値 $y$ をとる確率を $P(X=x,Y=y)$ と書くとし

\[P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}\]

とする．

2つの確率変数 $X,Y$ はいろいろな値をとるが，それらを足した値をもまたいろいろな値をとり， この値を別の新たな確率変数と考えることもできる．この新しい確率変数 $Z$ を

\[Z=X+Y\]

と書くことにする． $Z$ の確率分布表は以下のようになる．

$y_1$ $y_2$ $\cdots$ $y_m$
$x_1$ $x_1+y_1$ $x_1+y_2$ $x_1+y_m$ 計
$p_{11}$ $p_{12}$ $p_{1m}$ $p_{x_1}$
$x_2$ $x_2+y_1$ $x_2+y_2$ $x_2+y_m$ 計
$p_{21}$ $p_{22}$ $p_{2m}$ $p_{x_2}$
$\vdots$ $\vdots$
$x_n$ $x_n+y_1$ $x_n+y_2$ $x_n+y_m$ 計
$p_{n1}$ $p_{n2}$ $p_{nm}$ $p_{x_n}$
計計計計
$p_{y_1}$ $p_{y_2}$ $p_{y_m}$ $1$

このとき， $Z$ の期待値 $E(Z)$ は

\begin{align} E(Z)=&(x_1+y_1)p_{11}+\cdots+(x_1+y_m)p_{1m}\\ +&(x_2+y_1)p_{21}+\cdots+(x_2+y_m)p_{2m}\\ &\qquad\quad\qquad\qquad\vdots\\ +&(x_n+y_1)p_{n1}+\cdots+(x_n+y_m)p_{nm} \end{align}

確率変数の和の期待値

硬貨1枚とさいころ1個を投げる試行を考える．硬貨に表が出たときは1，裏が出たときは0を対応させる確率変数を $X$ とする．また，さいころに出た目を確率変数 $Y$ とする． $E(X+Y)$ を求めよ．

$Z=X+Y$ とすると， $Z$ のとる値は1から7までの整数となる．

例えば， $Z=2$ となるのは $X=1,Y=1$ のときか， $X=0,Y=2$ のときであり，これらは排反であるから

\begin{align} P(Z=2)=&P(X=1,Y=1)\\ &\qquad+P(X=0,Y=2)\\ =&\frac{2}{12} \end{align}

である．同様にして，計算すると次のようにまとめられる．

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Z&1&2&3&4&5&6&7\\\hline P&\dfrac{1}{12}&\dfrac{2}{12}&\dfrac{2}{12}&\dfrac{2}{12}&\dfrac{2}{12}&\dfrac{2}{12}&\dfrac{1}{12}\\\hline \end{array}

これより， $Z$ の期待値 $E(Z)$ は

\begin{align} E(Z)=&\frac{1}{12}(1+2\cdot2+2\cdot3+2\cdot4\\ &\qquad+2\cdot5+2\cdot6+7)\\ =&\boldsymbol{4} \end{align}

となる．

$\blacktriangleleft$ （参考1） $X$ の確率分布

\begin{array}{|c|c|c|}\hline X&0&1\\\hline P&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\\\hline \end{array} \[E(X)=\dfrac{1}{2}\]

$\blacktriangleleft$ （参考2） $Y$ の確率分布

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Y&1&2&3&4&5&6\\\hline P&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}\\\hline \end{array} \[E(X)=\dfrac{1}{6}(1+2+3+4+5+6)=\dfrac{7}{2}\]

いま，この例題において，確率変数 $X+Y$ の計算の様子をわかりやすくするため

$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$
$0$ $0+1$ $0+2$ $0+3$ $0+4$ $0+5$ $0+6$ 計
$\dfrac{1}{12}$ $\dfrac{1}{12}$ $\dfrac{1}{12}$ $\dfrac{1}{12}$ $\dfrac{1}{12}$ $\dfrac{1}{12}$ $\dfrac{1}{2}$
$1$ $1+1$ $1+2$ $1+3$ $1+4$ $1+5$ $1+6$ 計
$\dfrac{1}{12}$ $\dfrac{1}{12}$ $\dfrac{1}{12}$ $\dfrac{1}{12}$ $\dfrac{1}{12}$ $\dfrac{1}{12}$ $\dfrac{1}{2}$
計計計計計計計
$\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{1}{6}$ $1$

となおしてから，期待値 $E(X+Y)$ を計算してみると

\begin{align} &E(X+Y)\\ =&\ \frac{1}{12}\{(0+1)+(0+2)+(0+3)\\ &\qquad+(0+4)+(0+5)+(0+6)\}\\ &+\frac{1}{12}\{(1+1)+(1+2)+(1+3)\\ &\qquad+(1+4)+(1+5)+(1+6)\}\\ =&\ \left\{6\cdot\frac{1}{12}\cdot0+6\cdot\frac{1}{12}\cdot1\right\}\\ &+\left\{2\cdot\frac{1}{12}\cdot(1+2+3+4+5+6)\right\}\\ =&\ \left(\frac{1}{2}\cdot0+\frac{1}{2}\cdot1\right)\\ &+\left\{\frac{1}{6}\cdot(1+2+3+4+5+6)\right\}\\ =&\ E(X)+E(Y) \end{align}

つまり， $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ が成り立つ．

暗記確率変数の和の期待値

$X,Y$ を確率変数とするとき

\[E(X+Y)=E(X)+E(Y)\]

が成り立つことを証明せよ．

確率変数 $X$ の確率分布を $P(X=x_i)=p_{x_i}\quad(i=1,2,\cdots,n)$ ，

確率変数 $Y$ の確率分布を $P(Y=y_i)=p_{y_j}\quad(j=1,2,\cdots,m)$ ，とし

\[P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}\]

とする．

$X+Y$ の確率分布表は以下のようになる．

$y_1$ $y_2$ $\cdots$ $y_m$
$x_1$ $x_1+y_1$ $x_1+y_2$ $x_1+y_m$ 計
$p_{11}$ $p_{12}$ $p_{1m}$ $p_{x_1}$
$x_2$ $x_2+y_1$ $x_2+y_2$ $x_2+y_m$ 計
$p_{21}$ $p_{22}$ $p_{2m}$ $p_{x_2}$
$\vdots$ $\vdots$
$x_n$ $x_n+y_1$ $x_n+y_2$ $x_n+y_m$ 計
$p_{n1}$ $p_{n2}$ $p_{nm}$ $p_{x_n}$
計計計計
$p_{y_1}$ $p_{y_2}$ $p_{y_m}$ $1$

このとき， $X+Y$ の期待値 $E(X+Y)$ は

\begin{align} &E(X+Y)\\ =&(x_1+y_1)p_{11}+(x_1+y_2)p_{12}\\ &\qquad+\cdots+(x_1+y_m)p_{1m}\\ &+(x_2+y_1)p_{21}+(x_2+y_2)p_{22}\\ &\qquad+\cdots+(x_2+y_m)p_{2m}\\ &+\cdots\\ &+(x_n+y_1)p_{n1}+(x_n+y_2)p_{n2}\\ &\qquad+\cdots+(x_n+y_m)p_{nm}\\ =&x_1(p_{11}+p_{12}+\cdots+p_{1m})\\ &+x_2(p_{21}+p_{22}+\cdots+p_{2m})\\ &+\cdots\\ &+x_n(p_{n1}+p_{n2}+\cdots+p_{nm})\\ &+y_1(p_{11}+p_{21}+\cdots+p_{n1})\\ &+y_2(p_{12}+p_{22}+\cdots+p_{n2})\\ &+\cdots\\ &+y_m(p_{1m}+p_{2m}+\cdots+p_{nm})\\ =&(x_1p_{x_1}+x_2p_{x_2}+\cdots+x_np_{x_n})\\ &+(y_1p_{y_1}+y_2p_{y_2}+\cdots+y_np_{y_m})\\ =&E(X)+E(Y) \end{align}

確率変数の和の期待値の公式

$X,Y$ を確率変数とするとき

\[E(X+Y)=E(X)+E(Y)\]

が成り立つ．