数学A 第2章確率 — 確率分布と期待値

表も裏も $1/2$ の確率で出る硬貨を投げ、表が出たら100円もらえ、裏がでたら何ももらえないというゲームをする。このゲームを何回も続けると、100円もらえるときもあれば何ももらえないときもあるが、1回のゲームにつき平均して50円はもらえると期待できる。以下では、偶然によって支配される出来事において期待できる値、「期待値」について考えてみる。

確率変数と確率分布

確率変数とは何か

10本のくじがあり、そこから1本のくじを引くという試行を考える。 A賞が当ると1000円、B賞が当ると500円、C賞が当ると100円もらえるものとする。

$賞賞賞賞賞金（円）本数（本）賞A賞B賞C賞賞金（円）1000500100 本数（本）235$

A賞、B賞、C賞の当る確率は、それぞれ $2/10,3/10,5/10$ であるから、賞金と確率の関係は表のようにまとめることができる。

$賞金（円）確率賞金（円）1000500100 確率2/103/105/10$

ここで、1本のくじを引いた結果もらえる賞金を $X$ 円とすれば、 $X$ は1000、500、100のどれかの値をとる。このとき、 $X$ がどの値をとるかは試行の結果によって決まる。

また、 $X=1000$ となるときの確率を $P(X=1000)$ のように書くとすると、これはA賞に当るという事象の確率であるから

$P(X=1000)=2/10$

と書くことができる。他のものも同様にして

$P(X=500)=3/10,P(X=100)=5/10$

と書ける。

一般に、いまの $X$ のように、試行の結果によってその値が定まる変数を確率変数（random variable）という。確率変数を表すのには、大文字のアルファベット $X,Y,Z$ を使うことが多い。

確率分布とは何か

先程まとめた表

$賞金（円）確率賞金（円）1000500100 確率2/103/105/10$

は、確率変数と、その値となるときの確率の対応を示したものであり、この対応のことを確率分布（probability distribution）という。確率分布を上のように表にしてまとめたものを確率分布表（probability distribution table）という

確率変数 $X$ が、 $x1,x2,x3,\dots,xn$ という値をとる試行での確率分布が

$P(X=xi)=pi (i=1,2,3,\dots,n)$

とすると、確率分布表は

$計 Xx1x2x3\dotsxn計 Pp1p2p3\dotspn1$

となる。

期待値

期待値とは何か

さて、先程のくじ引きにおいて、このくじを1回引くとき、平均していくらの賞金が期待できるかについて考えてみよう。

$X1000500100 P2/103/105/10$

このくじの賞金は総額で

$円本円本円本円 1000円\times2本+500円\times3本+100円\times5本 =4000円$

であるから、くじ1本あたりの賞金は、平均して

$円本円 4000円\div10本=400円$

と考えられる。

この計算の見方を少し変えると（総額= $money$ , くじの本数= $kuzibiki$ とすると）

$確率変数確率確率変数確率確率変数確率 money/kuzibiki =(1000\times2+500\times3+100\times5)/10 =1000確率変数\times2/10確率+500確率変数\times3/10確率+100確率変数\times5/10確率$

と表すこともできる。

一般に、確率変数 $X$ のとり得る値のすべてが

$x1,x2,x3,\dots,xn$

であり、その値をとるときの確率がそれぞれ

$p1,p2,p3,\dots,pn (p1+p2+p3+\dots+pn=1)$

であるとする。つまり、確率分布が $P(X=xi)=pi (i=1,2,3,\dots,n)$ のとき

$x1p1+x2p2+x3p3+\dots+xnpn$

の値を、確率変数 $X$ の期待値（expectation）または平均（mean）といい $E(X)$ と表す。

先程のくじ引きの例では、くじ1本あたりの賞金の平均値が期待値である。

定義1期待値の $E(X)$ の定義

確率分布が $P(X=xi)=pi (i=1,2,3,\dots,n)$ のとき、

期待値 $E(X)$ を

$E(X)=x1p1+x2p2+x3p3+\dots+xnpn$

と定義する。

問題1期待値の計算～その1～

次の1. と2. ではどちらが有利と考えられるか。

さいころを1回振り、（出た目） $\times$ 100円もらえる。
さいころを2回振り、1回でも6の目が出たら1200円もらえる。
と2. それぞれの期待値を求めてから判断する.

解答を見る

もらえる金額を $X$ 円とすると、確率分布は

$計 X100200300400500600計 P1/61/61/61/61/61/61$

となるから、期待値 $E(X)$ は

$E(X)=1/6(100+200+300 +400+500+600) =350$
2回のさいころの結果、出る目の順列は $6Π2=36$ 通りあり、これらは同様に確からしい。このうち、2回とも6以外の目が出るのは $5\times5=25$ 通りだから、1回でも6の目が出るのは $36-25=11$ 通りある。よって、もらえる金額を $Y$ 円とすると、確率分布は

$計 Y01200計 P25/3611/361$

となる。よって、期待値 $E(Y)$ は

$E(Y)=11/36\times1200=(1100/3)≒367$

以上1. と2. の期待値を比べると、 $350<1100/3$ であるから、

2. の方が有利

と考えられる。

問題2期待値の計算～その2～

次の問いに答えよ。ただし、計算には期待値の定義を使うこと。

1、2、3、4と数字の書いてあるカードがそれぞれ1枚ずつ計4枚ある。カードを2枚引くとき、そのカードの番号の和を確率変数 $X$ として、期待値 $E(X)$ を求めよ。また、カードの番号の積を確率変数 $Y$ として、期待値 $E(Y)$ を求めよ。
1、2、3の数字の書いてあるくじ（引いたら元に戻すものとする）を2回引き、その数字の和を確率変数 $X$ として、期待値 $E(X)$ を求めよ。また、数字の積を確率変数 $Y$ として、期待値 $E(Y)$ を求めよ。

解答を見る

確率変数 $X$ の確率分布は次のようになる。

$X34567 P1/61/62/61/61/6$ $E(X)=1/6(3+4+5・2+6+7)=5$

また、確率変数 $Y$ の確率分布は次のようになる。

$Y2346812 P1/61/61/61/61/61/6$ $E(Y)=1/6(2+3+4+6+8+12)=35/6$
確率変数 $X$ の確率分布は次のようになる。

$X23456 P1/92/93/92/91/9$ $E(X)=1/9(2+3・2+4・3+5・2+6) =4$

また、確率変数 $Y$ の確率分布は次のようになる。

$Y123469 P1/92/92/91/92/91/9$ $E(Y) =1/9(1+2・2+3・2+4+6・2+9) =4$

確率変数の1次式の期待値

確率変数 $X$ のとる値が $x1,x2,\dots,xn$ のとき、 $X$ の1次式 $aX+b$ は

$ax1+b,ax2+b,\dots,axn+b$

という値をとる、別の新しい確率変数であると考える。

確率分布を $P(X=xi)=pi (i=1,2,\dots,n)$ とすると、 $a\neq0$ ならば

$P(aX+b=axi+b)=P(X=xi)=pi$

が成り立つ。

よって、確率変数 $aX+b$ の期待値 $E(aX+b)$ は

$E(aX+b)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2 +\dots+(axn+b)pn$

となる。

問題3確率変数の１次式の期待値

さいころ投げを1回行い、出た目を確率変数 $X$ とするとき、 $E(2X+1)$ を求めよ。

解答を見る

$2X+1$ の確率分布は次のようになる.

$2X+135791113 P1/61/61/61/61/61/6$

これより

$E(2X+1)=1/6(3+5+7+9+11+13) =8$

$X123456 P1/61/61/61/61/61/6$ $E(X)=1/6(1+2+3+4+5+6)=7/2$

いま、この例題において、確率変数 $2X+1$ の計算の様子をわかりやすくするため

2X+1	2 $・$ 1+1	2 $・$ 2+1	2 $・$ 3+1	2 $・$ 4+1	2 $・$ 5+1	2 $・$ 6+1
P	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$

となおしてから、期待値 $E(2X+1)$ を計算してみると

$の係数でくくれる部分をくくった E(2X+1) = 1/6{ (2・1+1)+(2・2+1)+ (2・3+1)+(2・4+1)+ (2・5+1)+(2・6+1) } = 1/6{2(1+2+3+4+5+6)+6} ↑ Xの係数2でくくれる部分をくくった = 2・1/6(1+2+3+4+5+6)+1 = 2E(X)+1$

つまり、 $E(2X+1)=2E(X)+1$ が成り立つ。

解答を見る

確率変数 $X$ の確率分布を

$P(X=xi)=pi (i=1,2,\dots,n)$

とする（ $n$ は自然数）このとき

$の係数でくくれる部分をくくった（でもくくった） ◀ Xの係数aでくくれる部分をくくった（bでもくくった） E(aX+b) =(ax1+b)p1+(ax2+b)p2 +\dots+(axn+b)pn =(ax1p1+bp1)+(ax2p2+bp2) +\dots+(axnpn+bpn) =a(x1p1+x2p2+\dots+xnpn) +b(p1+p2+\dots+pn) （注） Xの係数aでくくれる部分をくくった（bでもくくった） =aE(X)+b$

暗記1確率変数の１次式の期待値

$X$ を確率変数、 $a,b$ を定数とするとき

$E(aX+b)=aE(X)+b$

が成り立つことを証明せよ.

解答を見る

$2X+1$ の確率分布は次のようになる.

$2X+135791113 P1/61/61/61/61/61/6$

これより

$E(2X+1)=1/6(3+5+7+9+11+13) =8$

$X123456 P1/61/61/61/61/61/6$ $E(X)=1/6(1+2+3+4+5+6)=7/2$

いま、この例題において、確率変数 $2X+1$ の計算の様子をわかりやすくするため

2X+1	2 $・$ 1+1	2 $・$ 2+1	2 $・$ 3+1	2 $・$ 4+1	2 $・$ 5+1	2 $・$ 6+1
P	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$

となおしてから、期待値 $E(2X+1)$ を計算してみると

つまり、 $E(2X+1)=2E(X)+1$ が成り立つ。

解答を見る

確率変数 $X$ の確率分布を

$P(X=xi)=pi (i=1,2,\dots,n)$

とする（ $n$ は自然数）このとき

定理2確率変数の１次式の期待値の公式

$X$ を確率変数、 $a,b$ を定数とするとき

$E(aX+b)=aE(X)+b$

が成り立つ。

確率変数の和の期待値

確率変数 $X$ の確率分布が $P(X=xi)=pxi (i=1,2,\dots,n)$ 、確率変数 $Y$ の確率分布が $P(Y=yj)=pyj (j=1,2,\dots,m)$ 、となる試行を考える。

$X$ が値 $x$ をとり、 $Y$ が値 $y$ をとる確率を $P(X=x,Y=y)$ と書くとし

$P(X=xi,Y=yj)=pij$

とする。

2つの確率変数 $X,Y$ はいろいろな値をとるが、それらを足した値をもまたいろいろな値をとり、この値を別の新たな確率変数と考えることもできる。この新しい確率変数 $Z$ を

$Z=X+Y$

と書くことにする。 $Z$ の確率分布表は以下のようになる。

$X$ ＼ $Y$	$y1$	$y2$	$ym$
$x1$	$x1+y1$	$x1+y2$	$x1+ym$	計
	$p11$	$p12$	$p1m$	$px1$
$x2$	$x2+y1$	$x2+y2$	$x2+ym$	計
	$p21$	$p22$	$p2m$	$px2$
$⋮$				$⋮$

$xn$	$xn+y1$	$xn+y2$	$xn+ym$	計
	$pn1$	$pn2$	$pnm$	$pxn$
	計	計	計	計
	$py1$	$py2$	$pym$	$1$

このとき、 $Z$ の期待値 $E(Z)$ は

$E(Z)=(x1+y1)p11+\dots+(x1+ym)p1m +(x2+y1)p21+\dots+(x2+ym)p2m ⋮ +(xn+y1)pn1+\dots+(xn+ym)pnm$

問題4確率変数の和の期待値

硬貨1枚とさいころ1個を投げる試行を考える。硬貨に表が出たときは1、裏が出たときは0を対応させる確率変数を $X$ とする。また、さいころに出た目を確率変数 $Y$ とする。 $E(X+Y)$ を求めよ。

解答を見る

$Z=X+Y$ とすると、 $Z$ のとる値は1から7までの整数となる。

例えば、 $Z=2$ となるのは $X=1,Y=1$ のときか、 $X=0,Y=2$ のときであり、これらは排反であるから

$P(Z=2)=P(X=1,Y=1) +P(X=0,Y=2) =2/12$

である。同様にして、計算すると次のようにまとめられる。

$Z1234567 P1/122/122/122/122/122/121/12$

これより、 $Z$ の期待値 $E(Z)$ は

$E(Z)=1/12(1+2・2+2・3+2・4 +2・5+2・6+7) =4$

となる。

$X01 P1/21/2$ $E(X)=1/2$

$Y123456 P1/61/61/61/61/61/6$ $E(Y)=1/6(1+2+3+4+5+6)=7/2$

いま、この例題において、確率変数 $X+Y$ の計算の様子をわかりやすくするため

$X$ ＼ $Y$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	計
$0$	$0+1$	$0+2$	$0+3$	$0+4$	$0+5$	$0+6$
	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/2$
$1$	$1+1$	$1+2$	$1+3$	$1+4$	$1+5$	$1+6$
	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/2$
計	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1$

となおしてから、期待値 $E(X+Y)$ を計算してみると

$E(X+Y) = 1/12{(0+1)+(0+2)+(0+3) +(0+4)+(0+5)+(0+6)} +1/12{(1+1)+(1+2)+(1+3) +(1+4)+(1+5)+(1+6)} = {6・1/12・0+6・1/12・1} +{2・1/12・(1+2+3+4+5+6)} = (1/2・0+1/2・1) +{1/6・(1+2+3+4+5+6)} = E(X)+E(Y)$

つまり、 $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ が成り立つ。

解答を見る

確率変数 $X$ の確率分布を $P(X=xi)=pxi (i=1,2,\dots,n)$ 、

確率変数 $Y$ の確率分布を $P(Y=yj)=pyj (j=1,2,\dots,m)$ 、とし

$P(X=xi,Y=yj)=pij$

とする。

$X+Y$ の確率分布表は以下のようになる。

$X$ ＼ $Y$	$y1$	$y2$	$ym$
$x1$	$x1+y1$	$x1+y2$	$x1+ym$	計
	$p11$	$p12$	$p1m$	$px1$
$x2$	$x2+y1$	$x2+y2$	$x2+ym$	計
	$p21$	$p22$	$p2m$	$px2$
$⋮$				$⋮$

$xn$	$xn+y1$	$xn+y2$	$xn+ym$	計
	$pn1$	$pn2$	$pnm$	$pxn$
	計	計	計	計
	$py1$	$py2$	$pym$	$1$

ここで、表の横1行に注目すると、 $X=x1$ となる事象は $Y$ のとる値によって $m$ 個の排反な事象に分けられるから、 $p11+p12+\dots+p1m=P(X=x1)=px1$ となる。同じように、縦1列に注目すると $p1j+p2j+\dots+pnj=P(Y=yj)=pyj$ となる。

このとき、 $X+Y$ の期待値 $E(X+Y)$ は

$E(X+Y) =(x1+y1)p11+(x1+y2)p12 +\dots+(x1+ym)p1m +(x2+y1)p21+(x2+y2)p22 +\dots+(x2+ym)p2m +\dots +(xn+y1)pn1+(xn+y2)pn2 +\dots+(xn+ym)pnm =x1(p11+p12+\dots+p1m) +x2(p21+p22+\dots+p2m) +\dots +xn(pn1+pn2+\dots+pnm) +y1(p11+p21+\dots+pn1) +y2(p12+p22+\dots+pn2) +\dots +ym(p1m+p2m+\dots+pnm) =(x1px1+x2px2+\dots+xnpxn) +(y1py1+y2py2+\dots+ympym) =E(X)+E(Y)$

暗記2確率変数の和の期待値

$X,Y$ を確率変数とするとき

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

が成り立つことを証明せよ。

解答を見る

$Z=X+Y$ とすると、 $Z$ のとる値は1から7までの整数となる。

例えば、 $Z=2$ となるのは $X=1,Y=1$ のときか、 $X=0,Y=2$ のときであり、これらは排反であるから

$P(Z=2)=P(X=1,Y=1) +P(X=0,Y=2) =2/12$

である。同様にして、計算すると次のようにまとめられる。

$Z1234567 P1/122/122/122/122/122/121/12$

これより、 $Z$ の期待値 $E(Z)$ は

$E(Z)=1/12(1+2・2+2・3+2・4 +2・5+2・6+7) =4$

となる。

$X01 P1/21/2$ $E(X)=1/2$

$Y123456 P1/61/61/61/61/61/6$ $E(Y)=1/6(1+2+3+4+5+6)=7/2$

いま、この例題において、確率変数 $X+Y$ の計算の様子をわかりやすくするため

$X$ ＼ $Y$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	計
$0$	$0+1$	$0+2$	$0+3$	$0+4$	$0+5$	$0+6$
	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/2$
$1$	$1+1$	$1+2$	$1+3$	$1+4$	$1+5$	$1+6$
	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/2$
計	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1$

となおしてから、期待値 $E(X+Y)$ を計算してみると

つまり、 $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ が成り立つ。

解答を見る

確率変数 $X$ の確率分布を $P(X=xi)=pxi (i=1,2,\dots,n)$ 、

確率変数 $Y$ の確率分布を $P(Y=yj)=pyj (j=1,2,\dots,m)$ 、とし

$P(X=xi,Y=yj)=pij$

とする。

$X+Y$ の確率分布表は以下のようになる。

$X$ ＼ $Y$	$y1$	$y2$	$ym$
$x1$	$x1+y1$	$x1+y2$	$x1+ym$	計
	$p11$	$p12$	$p1m$	$px1$
$x2$	$x2+y1$	$x2+y2$	$x2+ym$	計
	$p21$	$p22$	$p2m$	$px2$
$⋮$				$⋮$

$xn$	$xn+y1$	$xn+y2$	$xn+ym$	計
	$pn1$	$pn2$	$pnm$	$pxn$
	計	計	計	計
	$py1$	$py2$	$pym$	$1$

このとき、 $X+Y$ の期待値 $E(X+Y)$ は

定理3確率変数の和の期待値の公式

$X,Y$ を確率変数とするとき

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

が成り立つ。

独立な確率変数の積の期待値

硬貨投げとさいころ投げのように、独立試行では確率変数 $X,Y$ のとる値すべての組 $xi,yj$ に対して

$P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)・ P(Y=yj)$

が成り立つ。

一般に、2つの確率変数 $X,Y$ があって、 $X$ のとるすべての値 $x$ と $Y$ のとる値 $y$ に対して

$P(X=x,Y=y)=P(X=x)・ P(Y=y)$

が成り立つとき、確率変数 $X,Y$ は互いに独立（independent）であるという。

問題5独立な確率変数の積の期待値

硬貨1枚とさいころ1個を投げる試行を考える。硬貨に表が出たときは1、裏が出たときは0を対応させる確率変数を $X$ とする。また、さいころに出た目を確率変数 $Y$ とする。 $E(XY)$ を求めよ。

解答を見る

$Z=XY$ とすると、 $Z$ のとる値は0から6までの整数となる。

例えば、 $Z=2$ となるのは $X=1,Y=2$ のときであるから

$P(Z=2)=P(X=1,Y=2)=1/12$

である。同様にして、計算すると次のようにまとめられる。

$Z0123456 P6/121/121/121/121/121/121/12$

これより、 $Z$ の期待値 $E(Z)$ は

$E(Z)=6/12・0+1/12(1+2+3+4+5+6) =7/4$

となる。

$X01 P1/21/2$ $E(X)=1/2$

$Y123456 P1/61/61/61/61/61/6$ $E(Y)=1/6(1+2+3+4+5+6)=7/2$

いま、この例題において、確率変数 $XY$ の計算の様子をわかりやすくするため

$X$ ＼ $Y$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	計
$0$	$0・1$	$0・2$	$0・3$	$0・4$	$0・5$	$0・6$
	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/2$
$1$	$1・1$	$1・2$	$1・3$	$1・4$	$1・5$	$1・6$
	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/2$
計	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1$

となおしてから、期待値 $E(XY)$ を計算してみると

$E(XY)=1/12{(0・1)+(0・2)+(0・3) +(0・4)+(0・5)+(0・6)} +1/12{(1・1)+(1・2)+(1・3) +(1・4)+(1・5)+(1・6)} =1/12・0・(1+2+3+4+5+6) +1/12・1・(1+2+3+4+5+6) =1/12(0+1)(1+2+3+4+5+6) =1/2(0+1) ・1/6(1+2+3+4+5+6) =E(X)・ E(Y)$

つまり、 $E(XY)=E(X)E(Y)$ が成り立つ。

解答を見る

確率変数 $X$ の確率分布を $P(X=xi)=pxi (i=1,2,\dots,n)$ 、

確率変数 $Y$ の確率分布を $P(Y=yj)=pyj (j=1,2,\dots,m)$ 、とすると、 $X$ と $Y$ は独立なので

$P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)・ P(Y=yj) =pxipyj$

が成り立つ。

$XY$ の確率分布表は以下のようになる。

$X$ ＼ $Y$	$y1$	$y2$	$ym$
$x1$	$x1y1$	$x1y2$	$x1ym$	計
	$px1py1$	$px1py2$	$px1pym$	$px1$
$x2$	$x2y1$	$x2y2$	$x2ym$	計
	$px2py1$	$px2py2$	$px2pym$	$px2$
$⋮$				$⋮$

$xn$	$xny1$	$xny2$	$xnym$	計
	$pxnpy1$	$pxnpy2$	$pxnpym$	$pxn$
	計	計	計	計
	$py1$	$py2$	$pym$	$1$

このとき、 $XY$ の期待値 $E(XY)$ は

$E(XY) =(x1y1)px1py1+(x1y2)px1py2 +\dots+(x1ym)px1pym +(x2y1)px2py1+(x2y2)px2py2 +\dots+(x2ym)px2pym +\dots +(xny1)pxnpy1+(xny2)pxnpy2 +\dots+(xnym)pxnpym =x1px1(y1py1+y2py2+\dots+ympym) +x2px2(y1py1+y2py2+\dots+ympym) +\dots +xnpxn(y1py1+y2py2+\dots+ympym) =(x1px1+x2px2+\dots+xnpxn) \times(y1py1+y2py2+\dots+ympym) =E(X)E(Y)$

暗記3独立な確率変数の積の期待値

$X,Y$ を独立な確率変数とするとき

$E(XY)=E(X)E(Y)$

が成り立つことを証明せよ。

解答を見る

$Z=XY$ とすると、 $Z$ のとる値は0から6までの整数となる。

例えば、 $Z=2$ となるのは $X=1,Y=2$ のときであるから

$P(Z=2)=P(X=1,Y=2)=1/12$

である。同様にして、計算すると次のようにまとめられる。

$Z0123456 P6/121/121/121/121/121/121/12$

これより、 $Z$ の期待値 $E(Z)$ は

$E(Z)=6/12・0+1/12(1+2+3+4+5+6) =7/4$

となる。

$X01 P1/21/2$ $E(X)=1/2$

$Y123456 P1/61/61/61/61/61/6$ $E(Y)=1/6(1+2+3+4+5+6)=7/2$

いま、この例題において、確率変数 $XY$ の計算の様子をわかりやすくするため

$X$ ＼ $Y$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	計
$0$	$0・1$	$0・2$	$0・3$	$0・4$	$0・5$	$0・6$
	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/2$
$1$	$1・1$	$1・2$	$1・3$	$1・4$	$1・5$	$1・6$
	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$1/2$
計	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1$

となおしてから、期待値 $E(XY)$ を計算してみると

つまり、 $E(XY)=E(X)E(Y)$ が成り立つ。

解答を見る

確率変数 $X$ の確率分布を $P(X=xi)=pxi (i=1,2,\dots,n)$ 、

確率変数 $Y$ の確率分布を $P(Y=yj)=pyj (j=1,2,\dots,m)$ 、とすると、 $X$ と $Y$ は独立なので

$P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)・ P(Y=yj) =pxipyj$

が成り立つ。

$XY$ の確率分布表は以下のようになる。

$X$ ＼ $Y$	$y1$	$y2$	$ym$
$x1$	$x1y1$	$x1y2$	$x1ym$	計
	$px1py1$	$px1py2$	$px1pym$	$px1$
$x2$	$x2y1$	$x2y2$	$x2ym$	計
	$px2py1$	$px2py2$	$px2pym$	$px2$
$⋮$				$⋮$

$xn$	$xny1$	$xny2$	$xnym$	計
	$pxnpy1$	$pxnpy2$	$pxnpym$	$pxn$
	計	計	計	計
	$py1$	$py2$	$pym$	$1$

このとき、 $XY$ の期待値 $E(XY)$ は

定理4独立な確率変数の積の期待値の公式

$X,Y$ を独立な確率変数とするとき

$E(XY)=E(X)E(Y)$

が成り立つ。

問題6公式を使った期待値の計算

期待値の計算～その２～と同じ問題を、今度は公式を上手に使って解け。

1、2、3、4と数字の書いてあるカードがそれぞれ1枚ずつ計4枚ある。カードを2枚引くとき、そのカードの番号の和を確率変数 $X$ として、期待値 $E(X)$ を求めよ。また、カードの番号の積を確率変数 $Y$ として、期待値 $E(Y)$ を求めよ。
1、2、3の数字の書いてあるくじ（引いたら元に戻すものとする）を2回引き、その数字の和を確率変数 $X$ として、期待値 $E(X)$ を求めよ。また、数字の積を確率変数 $Y$ として、期待値 $E(Y)$ を求めよ。

それぞれの場合で、和の公式・積の公式が使えるかどうかを見分けることに注意する。

解答を見る

はじめに引いたカードの番号を確率変数 $A$ 、2枚目に引いたカードの番号を確率変数 $B$ とすると $A,B$ の確率分布は次のようになる。

$計 A,B1234計 P1/41/41/41/41$ $E(A)=E(B)=1/4(1+2+3+4)=5/2$

$X=A+B$ であるから

$E(X)=E(A+B) =E(A)+E(B) =5/2+5/2 =5$

確率変数の和の期待値の公式

ここで、引いたカードは元に戻さないので、確率変数 $A$ と $B$ は独立ではない。和の公式は独立でなくても成り立つのでそのまま使えたが、積の公式 $E(AB)=E(A)E(B)$ は使えない。そこで、 $E(Y)$ は定義にもどって求める。確率変数 $Y$ の確率分布は次のようになる。

$Y2346812 P1/61/61/61/61/61/6$ $E(Y)=1/6(2+3+4+6+8+12) =35/6$
はじめに引くくじの番号を確率変数 $A$ 、2回目に引くくじの番号を確率変数 $B$ とすると、 $A,B$ の確率分布は次のようになる。

$計 A,B123計 P1/31/31/31$ $E(A)=E(B)=1/3(1+2+3)=2$

$X=A+B$ であるから

$E(X)=E(A+B) =E(A)+E(B) =2+2 =4$

確率変数の和の期待値の公式

また、 $Y=AB$ であり、引いたくじは元に戻すので確率変数 $A$ と $B$ は独立である。よって

$E(Y)=E(AB) =E(A)・ E(B) =2・2 =4$

独立な確率変数の積の期待値の公式

最終更新: 2026-09-03

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質問の内容

数学A 第2章 確率 — 確率分布と期待値

確率変数と確率分布

確率変数とは何か

確率分布とは何か

期待値

期待値とは何か

定義1期待値の E(X) の定義

問題1期待値の計算～その1～

問題2期待値の計算～その2～

確率変数の1次式の期待値

問題3確率変数の１次式の期待値

暗記1確率変数の１次式の期待値

定理2確率変数の１次式の期待値の公式

確率変数の和の期待値

問題4確率変数の和の期待値

暗記2確率変数の和の期待値

定理3確率変数の和の期待値の公式

独立な確率変数の積の期待値

問題5独立な確率変数の積の期待値

暗記3独立な確率変数の積の期待値

定理4独立な確率変数の積の期待値の公式

問題6公式を使った期待値の計算

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数学A 第2章確率 — 確率分布と期待値

定義1期待値の $E(X)$ の定義