ド・モルガンの法則

1，2，3，4，5，6の数字が書いてあるさいころを1回振り，さらに1，2，3，4の数字が書いてある4枚のカードから1枚引くとする． 2つの数字の積が偶数となるのは何通りか．

ド・モルガンの法則の解答

2つの数字の偶奇とその積の偶奇の関係は下の表のようになる．

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline さいころ&&カード&&積\\\hline 奇数&×&奇数&＝&奇数\\\hline 奇数&×&偶数&＝&偶数\\\hline 偶数&×&奇数&＝&偶数\\\hline 偶数&×&偶数&＝&偶数\\\hline \end{array}$

これより，積が偶数になる場合より，奇数になる場合の方が数えやすそうだとわかるので，補集合を考えてみることにする．

$C$ ：「さいころの数字が偶数である」

D：「カードの数字が偶数である」

とおくと，求める場合の数は $n(C\cup{D})$ であり，その補集合の要素の個数は $n(\overline{C\cup{D}})$ であるから，全体集合を $U$ とすると

$n(C\cup{D})=n(U)-n(\overline{C\cup{D}})$

ここで，『ド・モルガンの法則』より

$n(\overline{C\cup{D}})=n(\overline{C}\cap\overline{D})$

であり，集合 $\overline{C}\cap\overline{D}$ に対応する事柄は，「さいころの数字が偶数でなく，かつ，カードの数字が偶数でない」つまり

$「さいころ，カードの数字がともに奇数である」$

となるので，積の法則から

$n(\overline{C}\cap\overline{D})=3\times2=6$

よって

$\begin{align} n(C\cup{D})&=n(U)-n(\overline{C\cup{D}})\\ &=n(U)-n(\overline{C}\cap\overline{D})\\ &=24-6=\boldsymbol{18} \end{align}$

通り

吹き出しド・モルガンの法則を使うときには

形式的な面
意味的な面

の両方から，考える癖をつけるのがよい．

つまり，上の問題の例でいうならば，i)では

$\qquad$ 集合

$\overline{C\cup{D}}$ は，補集合のバー

$(\overline{\bigcirc})$ が“切れて”

$\cup$ が“ひっくりかえった”集合

$\overline{C}\cap\overline{D}$

$\qquad$ と常に等しかったな．そして，この

$\overline{C}\cap\overline{D}$ は，「数字がともに奇数である」という事柄と対応するな．

と考えることであり，ii)では

$\qquad$ 「（さいころの数字が偶数であるか，または，カードの数字が偶数である）ということはない」，とはつまり，「さいころ，カードの数字がともに奇数であること」と同じだな．

$\qquad$ だから，それぞれに対応する集合

$\overline{C\cup{D}}$ と

$\overline{C}\cap\overline{D}$ は等しくなるな．

と考えることである．

上の解答では，i)を強調した書き方になっている．