数え上げの基本

順列か組合せなのかを考えて、表や樹形図でまとめてから数える。以下の解答では、表でまとめた場合の解答である。樹形図についてまとめた場合には、右の図を参照のこと。数える樹形図の枝にはチェックマーク✓が入れてある。

1. 

   下の表で、和が5になるものを数えればよい。網掛けの部分を数えて、4通り。

   \begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline &1&2&3&4\\\hline1&1,1&2,1&3,1&4,1\\\hline 2&1,2&2,2&3,2&4,2\\\hline 3&1,3&2,3&3,3&4,3\\\hline 4&1,4&2,4&3,4&4,4\\\hline \end{array}
2. 

   下の表で、和が5になるものを数えればよい。網掛けの部分を数えて、2通り。

   \begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline &1&2&3&4\\\hline1&1,1&-&-&-\\\hline 2&1,2&2,2&-&-\\\hline 3&1,3&2,3&3,3&-\\\hline 4&1,4&2,4&3,4&4,4\\\hline \end{array}
3. 

   下の表で、はじめに引いたカードの数字が、あとに引いたカードの数字より小さくなるものを数えればよい。網掛けの部分を数えて、6通り。

   \begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline &1&2&3&4\\\hline1&-&2,1&3,1&4,1\\\hline 2&1,2&-&3,2&4,2\\\hline 3&1,3&2,3&-&4,3\\\hline 4&1,4&2,4&3,4&-\\\hline \end{array}
4. 

   下の表で、2枚のカードの数字の和が5以上となるものを数えればよい。網掛けの部分を数えて、4通り。

   \begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline &1&2&3&4\\\hline1&-&-&-&-\\\hline 2&1,2&-&-&-\\\hline 3&1,3&2,3&-&-\\\hline 4&1,4&2,4&3,4&-\\\hline \end{array}

1. さいころの数字6通りのそれぞれに対して，カードの数字は4通りに定まるから，積の法則より \[6\times4=\boldsymbol{24}通り\]

   《補足》 このことを，集合で表現すると以下のようになる．

   $A$ ：「さいころを1回振る」

   $B$ ：「カードを1枚引く」

   とおくと，求める場合の数は $n(A\times{B})$ となり

   \begin{align} n(A\times{B})&= n(A)\times{n(B)}\\ &= 6\times4=\boldsymbol{24}通り \end{align}
2. 2つの数字の和が4の倍数となるのは
   1. 2つの数字の和が4の場合
   2. 2つの数字の和が8の場合

   に分けることができ，i)の場合は(さいころ,カード)の順で $(1,~3)，(2,~2)，(3,~1)$ の3通りあり，

   ii)の場合も $(4,~4)，(5,~3)，(6,~2)$ の3通りある．

   また，これらは同時に起こることはないから，和の法則より

   \[3+3=\boldsymbol{6}通り\]

   《補足》 このことを，集合で表現すると以下のようになる．

   $P$ ：「2つの数字の和が4である」

   $Q$ ：「2つの数字の和が8である」

   とおくと，求める場合の数は $n(P\cup{Q})$ となり， $P\cap{Q}=\emptyset$ であるから \begin{align} n(P\cup{Q})&=n(P)+n(Q)\\ &=3+3=\boldsymbol{6}通り \end{align}

積の法則・和の法則の利用の例題(1)で求めた全体24通りのうち，「2つの数字の和が4の倍数となる」のは(2)より，6通りである．

よって，「2つの数字の和が4の倍数とは

ならない

」のは

$24-6=\boldsymbol{18}$ 通り．

《補足》 このことを，集合で表現すると以下のようになる．

全体集合 $U$ を $U=A\times{B}$ とおくと，求める場合の数は $n(\overline{P\cup{Q}})$ であるから

2つの数字の偶奇とその積の偶奇の関係は下の表のようになる．

これより，積が偶数になる場合より，奇数になる場合の方が数えやすそうだとわかるので，補集合を考えてみることにする．

$C$ ：「さいころの数字が偶数である」

D：「カードの数字が偶数である」

とおくと，求める場合の数は $n(C\cup{D})$ であり，その補集合の要素の個数は $n(\overline{C\cup{D}})$ であるから， 全体集合を $U$ とすると

ここで，『ド・モルガンの法則』より

であり，集合 $\overline{C}\cap\overline{D}$ に対応する事柄は，「さいころの数字が偶数でなく，かつ，カードの数字が偶数でない」つまり

となるので，積の法則から

よって

\begin{align} n(C\cup{D})&=n(U)-n(\overline{C\cup{D}})\\ &=n(U)-n(\overline{C}\cap\overline{D})\\ &=24-6=\boldsymbol{18} \end{align}

通り

『ド・モルガンの法則』の例題の場合と同じように

$C$ ：「さいころの数字が偶数である」

$D$ ：「カードの数字が偶数である」

とおくと，求める場合の数は $n(C\cup{D})$ である． 和集合の要素の個数に関して

が成り立つ．また，集合 $C\cap{D}$ に対応する事柄は

となる．

ここで， $n(C)$ ， $n(D)$ ， $n(C\cap{D})$ はそれぞれ

となるので

通り

事柄A，Bをそれぞれ

$\qquad A$ ：「3で割りきれる」

$\qquad B$ ：「7で割りきれる」

とする．まず， $n(A)$ と $n(B)$ について

$\qquad 100\div3=33$ あまり1

$\qquad 100\div7=14$ あまり2

であるから

$\qquad n(A) = 33,n(B) = 14$

である．

1. 「3で割りきれ，かつ，7で割りきれる数」は集合で $A\cap{B}$ と表すことができ， これは結局「21で割りきれる数」のことである．

$100\div21=4$ あまり16であるから

$n(A\cap{B})=\boldsymbol{4}$

2. 「3で割りきれるか，または，7で割りきれる数」は集合で $A\cup{B}$ と表すことができる．
\begin{align} &n(A\cup{B})\\ =&n(A)+n(B)-n(A\cap{B})\\ =&33+14-4\\ =&33+14-4=\boldsymbol{43} \end{align}
3. 求める場合の数は $n(\overline{A}\cap\overline{B})$ である．全体集合をUとすると
\begin{align} &n(\overline{A}\cap\overline{B})\\ =&n(\overline{A\cup{B}})\\ =&n(U)-n(A\cup{B})\\ =&100-43=\boldsymbol{57} \end{align}
4. 求める場合の数は $n(\overline{A}\cup\overline{B})$ である．
\begin{align} &n(\overline{A}\cup\overline{B})\\ =&n(\overline{A\cap{B}})\\ =&n(U)-n(A\cap{B})\\ =&100-4=\boldsymbol{96} \end{align}