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補集合での考え方

補集合の利用

1,2,3,4,5,6の数字が書いてあるさいころを1回振り,さらに1,2,3,4の数字が書いてある4枚のカードから1枚引くとする.

2つの数字の和が4の倍数とは"ならない"のは何通りか.

積の法則・和の法則の利用の例題(1)で求めた全体24通りのうち,「2つの数字の和が4の倍数となる」のは(2)より,6通りである.

よって,「2つの数字の和が4の倍数とは

ならない

」のは

24-6=\boldsymbol{18} 通り.

《補足》 このことを,集合で表現すると以下のようになる.

全体集合 UU=A\times{B} とおくと,求める場合の数は n(\overline{P\cup{Q}}) であるから

\begin{align} n(\overline{P\cup{Q}}) &= n(U)-n(P\cup{Q})\\ &= 24-6=\boldsymbol{18}通り \end{align}

この問題は,補集合の考え方を使わなくても,例えば和の法則で次のように解くこともできる.

A_1 :「カードの数字が1の場合で2つの数字の和が4の倍数になる」

A_2 :「カードの数字が2の場合で2つの数字の和が4の倍数になる」

A_3 :「カードの数字が3の場合で2つの数字の和が4の倍数になる」

A_4 :「カードの数字が4の場合で2つの数字の和が4の倍数になる」

とおくと,どの2つの事柄も同時におこることがないので

5+4+4+5=\boldsymbol{18} 通り

となるが,補集合を考えたときに比べてかなり面倒である.

そこで,次のような原則を引き出すことができるだろう.

補集合で考えるときのポイント

全体集合 U に対して, n(X) を数えるよりも n(\overline{X}) を数えるほうが数えやすいとき

n(X)=n(U)-n(\overline{X})

として, n(X) を計算するとよい.