補集合での考え方
補集合の利用
1,2,3,4,5,6の数字が書いてあるさいころを1回振り,さらに1,2,3,4の数字が書いてある4枚のカードから1枚引くとする.
2つの数字の和が4の倍数とは"ならない"のは何通りか.
積の法則・和の法則の利用の例題(1)で求めた全体24通りのうち,「2つの数字の和が4の倍数となる」のは(2)より,6通りである.
よって,「2つの数字の和が4の倍数とは
ならない
」のは
24-6=\boldsymbol{18} 通り.
《補足》 このことを,集合で表現すると以下のようになる.
全体集合 U を U=A\times{B} とおくと,求める場合の数は n(\overline{P\cup{Q}}) であるから
\begin{align} n(\overline{P\cup{Q}}) &= n(U)-n(P\cup{Q})\\ &= 24-6=\boldsymbol{18}通り \end{align}この問題は,補集合の考え方を使わなくても,例えば和の法則で次のように解くこともできる.
A_1 :「カードの数字が1の場合で2つの数字の和が4の倍数になる」
A_2 :「カードの数字が2の場合で2つの数字の和が4の倍数になる」
A_3 :「カードの数字が3の場合で2つの数字の和が4の倍数になる」
A_4 :「カードの数字が4の場合で2つの数字の和が4の倍数になる」
とおくと,どの2つの事柄も同時におこることがないので
5+4+4+5=\boldsymbol{18} 通り
となるが,補集合を考えたときに比べてかなり面倒である.
そこで,次のような原則を引き出すことができるだろう.
補集合で考えるときのポイント
全体集合 U に対して, n(X) を数えるよりも n(\overline{X}) を数えるほうが数えやすいとき
n(X)=n(U)-n(\overline{X})として, n(X) を計算するとよい.