$15^\circ$の三角比とその周辺

以上から直角三角形 $\text{ABC}$ の3辺の長さは、図のようになる。

$15^\circ$、$75^\circ$、$90^\circ$ の三角形

$15^\circ$、$75^\circ$、$90^\circ$ の三角形

これより、$15^\circ$ の三角比は以下のように求められる。 \begin{align} \sin15^\circ=&\dfrac{\text{CB}}{\text{AC}}\\ =&\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\\ =&\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}\\ =&\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\ \cos15^\circ=&\dfrac{\text{AB}}{\text{CA}}\\ =&\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\\ =&\dfrac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}\\ =&\dfrac{2\sqrt{6}-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6-2}\\ =&\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\ \tan15^\circ=&\dfrac{\text{BC}}{\text{AB}}\\ =&\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}\\ =&2-\sqrt{3} \end{align}

$15^\circ$ とその周辺の三角比

$\sin15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$、$\cos15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$、$\tan15^\circ=2-\sqrt{3}$ を利用して、次の三角比を求めよ。

  1. $\sin75^\circ$、$\cos75^\circ$、$\tan75^\circ$
  2. $\sin105^\circ$、$\cos105^\circ$、$\tan105^\circ$
  3. $\sin165^\circ$、$\cos165^\circ$、$\tan165^\circ$

  1. $75^\circ=90^\circ-15^\circ$ であるから、$90^\circ-A$ の三角比より次のように求めることができる。
    1の図
    \begin{align} \sin75^\circ=&\sin\left(90^\circ-15^\circ\right)\\ =&\cos15^\circ=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\\ \cos75^\circ=&\cos\left(90^\circ-15^\circ\right)\\ =&\sin15^\circ=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\\ \tan75^\circ=&\tan\left(90^\circ-15^\circ\right)\\ =&\dfrac{1}{\tan15^\circ}=\boldsymbol{2+\sqrt{3}} \end{align}
  2. $105^\circ=90^\circ+15^\circ$ であるから、$90^\circ+\theta$ の三角比より次のように求めることができる。
    2の図
    \begin{align} \sin105^\circ=&\sin\left(90^\circ+15^\circ\right)\\ =&\cos15^\circ=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\\ \cos105^\circ=&\cos\left(90^\circ+15^\circ\right)\\ =&-\sin15^\circ=\boldsymbol{-\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\\ \tan105^\circ=&\tan\left(90^\circ+15^\circ\right)\\ =&-\dfrac{1}{\tan15^\circ}=\boldsymbol{-2-\sqrt{3}} \end{align}
  3. $165^\circ=180^\circ-15^\circ$ であるから、$180^\circ-\theta$ の三角比より次のように求めることができる。
    3の図
    \begin{align} \sin165^\circ=&\sin\left(180^\circ-15^\circ\right)\\ =&\sin15^\circ=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\\ \cos165^\circ=&\cos\left(180^\circ-15^\circ\right)\\ =&-\cos15^\circ=\boldsymbol{-\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\\ \tan165^\circ=&\tan\left(180^\circ-15^\circ\right)\\ =&-\tan15^\circ=\boldsymbol{-2+\sqrt{3}} \end{align}

$15^\circ$ とその周辺の三角比

次の図のような $A=15^\circ$ の直角三角形 $\text{ABC}$ において、$\angle\text{DCB}=60^\circ$ となるように点 $\text{D}$ をとることにより、各辺の比がわかるので、以下のような三角比の値が求められる。

$15^\circ$ とその周辺の三角比 \begin{cases} \sin15^\circ&=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\ \cos15^\circ&=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\ \tan15^\circ&=2-\sqrt{3} \end{cases} \begin{cases} \sin75^\circ&=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\ \cos75^\circ&=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\ \tan75^\circ&=2+\sqrt{3} \end{cases} \begin{cases} \sin105^\circ&=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\ \cos105^\circ&=-\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\ \tan105^\circ&=-2-\sqrt{3} \end{cases} \begin{cases} \sin165^\circ&=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\ \cos165^\circ&=-\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\ \tan165^\circ&=-2+\sqrt{3} \end{cases}

吹き出し$15^\circ$ の三角比とその周辺

例題でみたように、これらはすべて $15^\circ$ を基準とした \[15^\circ,~90^\circ\pm15^\circ,~180^\circ-15^\circ\] の三角比なので、$15^\circ$ の三角比から他の角度の三角比は簡単に導ける。$15^\circ$ の三角比の値は覚えなくてもよいが、$15^\circ$ を含む直角三角形から導けるようにしておこう。

これらの角以外にも、$18^\circ$、$36^\circ$、$72^\circ$、$144^\circ$ などの角も、特殊な三角形を考えることによって三角比を 求めることができる。これらについては $36^\circ$、$72^\circ$ などの三角比を参照のこと。