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15∘、75∘、105∘、165∘の三角比

15∘、75∘、90∘の三角形を考える

（注）

15∘ に関する三角比を考えるため、まず図のような直角三角形 ABC の AC、AB の長さを求めよう。

15∘、75∘、90∘ の三角形

$15^\circ$、$75^\circ$、$90^\circ$ の三角形

ここで、辺 AB 上に点 D を ∠CDB=30∘ となるようにとると、∠DCB=60∘ であるから、∠DCA=75∘−60∘=15∘ である。このとき、∠DCA=∠DAC=15∘ となるから、△DCA は二等辺三角形とわかる。

△BCD において、BC=1 から DB=√3, DC=2 となり、また △DCA は二等辺三角形だったから AD=DC=2 となる。以上より、AB=2+√3 とわかった。

さらに、直角三角形 ABC に三平方の定理を用いて AC=√AB2+BC2=√(2+√3)2+12=√7+4√3+1=√8+4√3 ここで、√8+4√3 の2重根号をはずすと（2重根号参照） √8+4√3=√8+2√12=√(√6+√2)2=√6+√2 より、AC=√6+√2 となる。

15∘の三角比とその周辺

以上から直角三角形 ABC の3辺の長さは、図のようになる。

15∘、75∘、90∘ の三角形

$15^\circ$、$75^\circ$、$90^\circ$ の三角形

これより、15∘ の三角比は以下のように求められる。 sin15∘=CBAC=1√6+√2=√6−√2(√6+√2)(√6−√2)=√6−√24cos15∘=ABCA=2+√3√6+√2=(2+√3)(√6−√2)(√6+√2)(√6−√2)=2√6−2√2+3√2−√66−2=√6+√24tan15∘=BCAB=12+√3=2−√3(2+√3)(2−√3)=2−√3

15∘ とその周辺の三角比

sin15∘=√6−√24、cos15∘=√6+√24、tan15∘=2−√3 を利用して、次の三角比を求めよ。

  1. sin75∘、cos75∘、tan75∘
  2. sin105∘、cos105∘、tan105∘
  3. sin165∘、cos165∘、tan165∘

  1. 75∘=90∘−15∘ であるから、90∘−A の三角比より次のように求めることができる。
    1の図
    \begin{align} \sin75^\circ=&\sin\left(90^\circ-15^\circ\right)\\ =&\cos15^\circ=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\\ \cos75^\circ=&\cos\left(90^\circ-15^\circ\right)\\ =&\sin15^\circ=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\\ \tan75^\circ=&\tan\left(90^\circ-15^\circ\right)\\ =&\dfrac{1}{\tan15^\circ}=\boldsymbol{2+\sqrt{3}} \end{align}
  2. 105^\circ=90^\circ+15^\circ であるから、90^\circ+\theta の三角比より次のように求めることができる。
    2の図
    \begin{align} \sin105^\circ=&\sin\left(90^\circ+15^\circ\right)\\ =&\cos15^\circ=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\\ \cos105^\circ=&\cos\left(90^\circ+15^\circ\right)\\ =&-\sin15^\circ=\boldsymbol{-\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\\ \tan105^\circ=&\tan\left(90^\circ+15^\circ\right)\\ =&-\dfrac{1}{\tan15^\circ}=\boldsymbol{-2-\sqrt{3}} \end{align}
  3. 165^\circ=180^\circ-15^\circ であるから、180^\circ-\theta の三角比より次のように求めることができる。
    3の図
    \begin{align} \sin165^\circ=&\sin\left(180^\circ-15^\circ\right)\\ =&\sin15^\circ=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\\ \cos165^\circ=&\cos\left(180^\circ-15^\circ\right)\\ =&-\cos15^\circ=\boldsymbol{-\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\\ \tan165^\circ=&\tan\left(180^\circ-15^\circ\right)\\ =&-\tan15^\circ=\boldsymbol{-2+\sqrt{3}} \end{align}

15^\circ とその周辺の三角比

次の図のような A=15^\circ の直角三角形 \text{ABC} において、\angle\text{DCB}=60^\circ となるように点 \text{D} をとることにより、各辺の比がわかるので、以下のような三角比の値が求められる。

$15^\circ$ とその周辺の三角比 \begin{cases} \sin15^\circ&=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\ \cos15^\circ&=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\ \tan15^\circ&=2-\sqrt{3} \end{cases} \begin{cases} \sin75^\circ&=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\ \cos75^\circ&=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\ \tan75^\circ&=2+\sqrt{3} \end{cases} \begin{cases} \sin105^\circ&=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\ \cos105^\circ&=-\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\ \tan105^\circ&=-2-\sqrt{3} \end{cases} \begin{cases} \sin165^\circ&=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\ \cos165^\circ&=-\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\ \tan165^\circ&=-2+\sqrt{3} \end{cases}

吹き出し15^\circ の三角比とその周辺

例題でみたように、これらはすべて 15^\circ を基準とした 15^\circ,~90^\circ\pm15^\circ,~180^\circ-15^\circ の三角比なので、15^\circ の三角比から他の角度の三角比は簡単に導ける。15^\circ の三角比の値は覚えなくてもよいが、15^\circ を含む直角三角形から導けるようにしておこう。

これらの角以外にも、18^\circ、36^\circ、72^\circ、144^\circ などの角も、特殊な三角形を考えることによって三角比を 求めることができる。これらについては 36^\circ、72^\circ などの三角比を参照のこと。