位置ベクトルの成分と座標の関係

無題

座標平面内で原点 $\text{O}$ を基準ととると，平面上の任意の点 $\text{P}(x_0, y_0)$ への位置ベクトル $\vec{p}$ は， $\vec{p} =\dbinom{x_0}{y_0}$ となる．

また，逆に原点 $\text{O}$ に関する点 $\text{P}$ の位置ベクトル $\vec{p}$ が $\vec{p} =\dbinom{x_0}{y_0}$ であるとき，点 $\text{P}$ の座標は $(x_0, y_0)$ となる．

つまり

$\begin{align} &「点\text{P} の座標が(x_0, y_0) である」\\ \Longleftrightarrow &「原点\text{O} に関する点\text{P} への位置ベクトルは\\ & \qquad \vec{p} =\dbinom{x_0}{y_0}である」 \end{align}$

となる．

位置ベクトルの成分と座標の関係

$\vec{a} =\dbinom{1}{2}，\vec{b} =\dbinom{−4}{−1}$ とする．

座標平面上の点 $\text{A}(3, 1)$ から $3\vec{a} + 2\vec{b}$ だけ移動した点 $\text{P}$ の座標を求めよ．

位置ベクトルの成分と座標の関係の解答

無題

まず， $\overrightarrow{\text{AP}} = 3\vec{a} + 2\vec{b}$ であるから

$\begin{align} \overrightarrow{\text{AP}} &= 3 \dbinom{1}{2}+ 2 \dbinom{−4}{−1}\\ &= \dbinom{3}{6}+ \dbinom{−8}{−2}\\ &= \dbinom{3 – 8}{6 – 2}\\ &= \dbinom{−5}{4} \end{align}$

また， $\overrightarrow{\text{AP}} =\overrightarrow{\text{OP }}−\overrightarrow{\text{OA}}$ であるから

$\blacktriangleleft$ ベクトルの分解を使って，

$\overrightarrow{\text{AP}}$ を原点

$\text{ O}$ を始点とするベクトル（原点に関する位置ベクトル）に書き換えた．

$\begin{align} \overrightarrow{\text{OP}} &=\overrightarrow{\text{AP }}+\overrightarrow{\text{OA }}=\dbinom{−5}{4}+ \dbinom{3}{1}\\ &= \dbinom{−5 + 3}{4 + 1}= \dbinom{−2}{5} \end{align}$

よって，点 $\text{ P}$ の座標は $\boldsymbol{ (−2, 5) }$ である．