位置ベクトル

位置ベクトルの定義

平面上で，基準とする点$\text{ O}$ をあらかじめ定めておくと，任意の点 $\text{ P}$ の位置は

\[\vec{p} =\overrightarrow{\text{OP}}\]

という$\vec{p}$ によって表すことができる．

この$\vec{p}$ を，点$\text{ O}$ に関する点$\text{ P}$ への位置ベクトル(position vector) という．また，位置ベクトルが$\vec{p}$ である点$\text{P}$ を，$\text{P} (\vec{p})$ と表す．

点$\text{O}$ に関して，2 点$\text{A}，\text{B} $がそれぞれ，$\text{A}(\vec{a})，\text{B}(\vec{b})$ であるとき

\[\overrightarrow{\text{AB}} =\overrightarrow{\text{OB}} −\overrightarrow{\text{OA}}\] であるから,$\overrightarrow{\text{AB}}$ は \[\overrightarrow{\text{AB}} = \vec{b} − \vec{a}\]

と表される．

つまり，$\overrightarrow{\text{AB}}$ は「終点$\text{B}$ の位置ベクトルから，始点$\text{A}$ の位置ベクトルを引いた差」に等しい．

位置ベクトルの成分と座標の関係

無題

座標平面内で原点$\text{O}$ を基準ととると，平面上の任意の点$\text{P}(x_0, y_0)$への位置ベクトル$\vec{p}$ は，$\vec{p} =\dbinom{x_0}{y_0}$となる．

また，逆に原点$\text{O}$ に関する点$\text{P}$ の位置ベクトル$\vec{p}$ が$\vec{p} =\dbinom{x_0}{y_0}$であるとき，点$\text{P}$ の座標は$(x_0, y_0)$ となる．

つまり

\begin{align} &「点\text{P} の座標が(x_0, y_0) である」\\ \Longleftrightarrow &「原点\text{O} に関する点\text{P} への位置ベクトルは\\ & \qquad \vec{p} =\dbinom{x_0}{y_0}である」 \end{align}

となる．

位置ベクトルの成分と座標の関係

$\vec{a} =\dbinom{1}{2}，\vec{b} =\dbinom{−4}{−1}$とする．

座標平面上の点$\text{A}(3, 1)$ から$3\vec{a} + 2\vec{b}$ だけ移動した点$\text{P}$ の座標を求めよ．

位置ベクトルの成分と座標の関係の解答

無題

まず，$\overrightarrow{\text{AP}} = 3\vec{a} + 2\vec{b}$ であるから

\begin{align} \overrightarrow{\text{AP}} &= 3 \dbinom{1}{2}+ 2 \dbinom{−4}{−1}\\ &= \dbinom{3}{6}+ \dbinom{−8}{−2}\\ &= \dbinom{3 – 8}{6 – 2}\\ &= \dbinom{−5}{4} \end{align}

また，$\overrightarrow{\text{AP}} =\overrightarrow{\text{OP }}−\overrightarrow{\text{OA}}$ であるから

$\blacktriangleleft$ ベクトルの分解を使って，$\overrightarrow{\text{AP}}$ を原点$\text{ O}$ を始点とするベクトル（原点に関する位置ベクトル）に書き換えた． \begin{align} \overrightarrow{\text{OP}} &=\overrightarrow{\text{AP }}+\overrightarrow{\text{OA }}=\dbinom{−5}{4}+ \dbinom{3}{1}\\ &= \dbinom{−5 + 3}{4 + 1}= \dbinom{−2}{5} \end{align}

よって，点$\text{ P}$ の座標は$\boldsymbol{ (−2, 5) }$である．