$y=a(x-p)^2$ のグラフ
$y=a(x-p)^2$のグラフ
次に $y=a(x-p)^2$ という形をした放物線について考えてみよう。例として、2つの2次関数 \begin{align} &y=2x^2\\ &y=2(x-3)^2 \end{align} の関係を考えてみよう。
この2つの関数について、$x$ を整数としていろいろ変化させてみると、$y$ の値は下の表のようまとめることができる。
| $x$ | $\cdots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $\cdots$ |
| $2x^2$ | $\cdots$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | $18$ | $32$ | $50$ | $\cdots$ |
| $2(x-3)^2$ | $\cdots$ | $50$ | $32$ | $18$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | $\cdots$ |
この平行移動によって、軸は $x$ 軸方向に $3$ 移動し、直線 $x=3$ に重なる。また、頂点も移動し、原点より $x$ 軸方向に $3$ 大きい点 $(3,~0)$ であることがわかる。
$y＝a(x-p)^2$ のグラフ
$y=a(x−p)^2$ のグラフは、$y=ax^2$ のグラフを
「$x$ 軸方向に $p$ だけ平行移動」
した放物線である。このとき、軸は直線 $x=p$、頂点は $(p,~0)$ となる。
放物線を描く～その1～
次の放物線は、$[~~]$内のグラフをどのように平行移動してできたグラフか。また、軸の方程式と頂点の座標を求め、座標平面にグラフで表せ。
- $y=2x^2-3~~[~y=2x^2~]$
- $y=2(x+2)^2~~[~y=2x^2~]$
- $y=-3x^2-1~~[~y=-3x^2~]$
- $y=-3(x-4)^2~~[~y=-3x^2~]$
- $y=2x^2-3$ は $y=2x^2$ のグラフを
$\boldsymbol{y}$ 軸方向に $\boldsymbol{-3}$ 平行移動したグラフ
であるから
軸は $\boldsymbol{y}$ 軸（または直線 $x=0$）、頂点の座標は $\boldsymbol{(0,~-3)}$
である。また、これは下に凸な放物線であるから、グラフは右図のようになる。 - $y=2(x+2)^2$ は $y=2x^2$ のグラフを
$\boldsymbol{x}$ 軸方向に $\boldsymbol{-2}$ 平行移動したグラフ
であるから
軸は $\boldsymbol{x=-2}$、頂点の座標は $\boldsymbol{(-2,~0)}$
である。また、これは下に凸な放物線であるから、グラフは右図のようになる。 - $y=−3x^2−1$ は $y=−3x^2$ のグラフを$\boldsymbol{y}$ 軸方向に $\boldsymbol{−1}$ 平行移動したグラフ
であるから
軸は $\boldsymbol{y}$ 軸（または直線 $x=0$）、頂点の座標は $\boldsymbol{(0,~-1)}$
である。また、これは上に凸な放物線であるから、グラフは右図のようになる。 - $y=−3(x-4)^2$ は $y=-3x^2$ のグラフを
$\boldsymbol{x}$ 軸方向に $\boldsymbol{4}$平行移動したグラフ
であるから
軸は $\boldsymbol{x=4}$、頂点の座標は $\boldsymbol{(4,~0)}$
である。また、これは上に凸な放物線であるから、グラフは右図のようになる。