1次関数を決定する

$y=a(x-p)+q$ のグラフで学んだことを用い、条件に合った1次関数の式を求めてみよう。

直線の傾きと通る1点が与えられた場合

グラフが次の条件を満たす1次関数を求めよ。

  1. 傾きが $3$ で、点 $(2,~1)$ を通る。
  2. 傾きが $2$ で、$y$ 切片が $1$ である。
  3. 傾きが $2$ で、$x$ 切片が $3$ である。

  1. 傾きが $3$ で、点 $(2,~1)$ を通る直線の方程式は \begin{align} &y=3(x-2)+1\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=3x-5}\\ &\blacktriangleleft y=a(x-p)+qのグラフ \end{align}
  2. $y$ 切片が $1$ であるということは、点 $(0,~1)$ を通るということであるから \begin{align} &y=2(x-0)+1\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=2x+1}\\ &\blacktriangleleft y=a(x-p)+qのグラフ \end{align}
  3. $x$ 切片が $3$ であるということは、点 $(3,~0)$ を通るということであるから \begin{align} &y=2(x-3)+0\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=2x-6}\\ &\blacktriangleleft y=a(x-p)+qのグラフ \end{align}

直線の通る2点が与えられた場合

グラフが次の条件を満たす1次関数を求めよ。

  1. 2点 $(-2,~-7)$、$(1,~-1)$ を通る。
  2. 2点 $(-5,~-9)$、$(5,~7)$ を通る。
  3. $x$ 切片が $3$、$y$ 切片が $5$ である。

  1. 傾きは \[\dfrac{-1-(-7)}{1-(-2)}=2\] $\blacktriangleleft$ 直線の傾き $a$
    である。

    通る点を $(-2,~-7)$ として
    $\blacktriangleleft$ 通る点を $(1,~-1)$ としてもよい \begin{align} &y=2{x-(-2)}-7\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=2x-3}\\ &\blacktriangleleft y=a(x-p)+qのグラフ \end{align}

  2. 傾きは \[\dfrac{7-(-9)}{5-(-5)}=\dfrac{8}{5}\] \blacktriangleleft 直線の傾き $a$
    である。

    通る点を $(-5,~-9)$ として
    $\blacktriangleleft$ 通る点を $(5,~7)$ としてもよい \begin{align} &y=\dfrac{8}{5}{x-(-5)}-9\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=\dfrac{8}{5}x-1}\\ &\blacktriangleleft y=a(x-p)+qのグラフ \end{align}

  3. 求めたい関数のグラフは、$x$ 切片が $3$ なので $(3,~0)$ を通り、$y$ 切片が $5$ なので $(0,~5)$ を通る。

    つまり、傾きは \[\dfrac{5-0}{0-3}=-\dfrac{5}{3}\] $\blacktriangleleft$ 直線の傾き $a$
    であるから、通る点を $(3,~0)$ として
    $\blacktriangleleft$ 通る点を $(0,~5)$ としてもよい \begin{align} &y=-\dfrac{5}{3}(x-3)+0\\ \Leftrightarrow&~\boldsymbol{y=-\dfrac{5}{3}x+5}\\ &\blacktriangleleft y=a(x-p)+qのグラフ \end{align}