1次関数とそのグラフ

関数 $f(x)$ が $x$ の1次式で表されるとき、つまり、$a(\neq0)$、$b$ を定数として $$f(x)=ax+b$$ の形で表されるとき、$f(x)$ は $x$ の1次関数 (linearfunction) であるという。

たとえば、以下の $x$ の関数 $f(x)$ は、すべて1次関数である。 $$\begin{align} &f(x)=x+2\\ &f(x)=3x-\frac{1}{2}\\ &f(x)=-2x+\sqrt{2} \end{align}$$

1次関数 $y=ax+b$ において、まずは $b=0$ の場合、つまり $y=ax$ のグラフについて考えてみよう。このタイプのグラフは次のような特徴があった。

傾き $a$ は「$x$ が $1$ 増加したときの $y$ の増加量」になっている。$a$ が負のときは $y$ の増加量が負になり、$y$ は減少していることになる。

次に、一般の1次関数 $y=ax+b$ のグラフについて考えてみよう。

2つの1次関数のグラフ

例として2つの1次関数 $$\begin{align} &y=\dfrac{1}{2}x\\ &y=\dfrac{1}{2}x+1 \end{align}$$ の関係を考えてみよう。

上の表から、$y=\dfrac{1}{2}x+1$ のグラフは、$y=\dfrac{1}{2}x$ のグラフを $y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動した直線であるとわかる。

また、原点より $y$ 軸方向に $1$ 大きい点 $(0,~1)$ を通ることがわかる。

2つの1次関数のグラフ

例として2つの1次関数 $$\begin{align} &y=2x\\ &y=2(x-3) \end{align}$$ の関係を考えてみよう。

上の表から、$y=2(x-3)$ のグラフは、$y=2x$ のグラフを $x$ 軸方向に $3$ だけ平行移動した直線になるとわかる

また、このグラフは原点より $x$ 軸方向に $3$ 大きい点 $(3,~0)$ を通る。

最後に、$y=a(x-p)$ の右辺に $q$ を加えた $$y=a(x-p)+q$$ という形をした1次関数のグラフについて考えてみよう。

$y=2(x-3)+1$ のグラフ

たとえば $y=2(x-3)+1$ のグラフについて考えてみよう。これは、$y=2x$ のグラフを $x$ 軸方向に $3$ 平行移動した $$y=2(x-3)$$ のグラフを、さらに $y$ 軸方向に $1$ 平行移動した $$y=2(x-3)+1$$ のグラフを表している。

また、$y=2(x-3)+1$ のグラフは、原点より $x$ 軸方向に $3$ 大きく、$y$ 軸方向に $1$ 大きい点 $(3,~1)$ を通ることがわかる。

また、$y=2(x-3)+1$ は、計算によって $y=2x-5$ や $y=2\left(x-\dfrac{5}{2}\right)$ とも表せるので、$y=2x$ を $y$ 軸方向に $-5$ 平行移動したものともいえるし、$x$ 軸方向に $\dfrac{5}{2}$ 平行移動したものともいえる。このことを、上のグラフで確認しておくこと。

「1次関数 $y=ax+b$ のグラフ」のことを
「直線 $y=ax+b$」
ということがある。このときの $y=ax+b$ は、直線の方程式 (equation of line) といわれる。

関数 $f(x)$ において、ある $x$ の範囲における「$x$ の増加量に対する $f(x)$ の増加量の比」を，その $x$ の範囲における変化の割合 (rateofchange) という。

$x$ 座標が，$x_0$ から $x_1$ に増加するときの $f(x)$ の変化の割合は $$\begin{align} （変化の割合）&=\dfrac{（f(x)の増加量）}{（xの増加量）}\\ &=\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} \end{align}$$

変化の割合と傾きの関係の図

右図のように、直線 $y=ax+b$ が異なる2点 $(x_0,~ax_0+b)$、$(x_1,~ax_1+b)$ を通るとき

$$\begin{align} &(変化の割合)\\ =&\frac{(ax_1+b)-(ax_0+b)}{x_1-x_0}\\ =&\frac{ax_1-ax_0}{x_1-x_0}\\ =&\frac{a(x_1-x_0)}{x_1-x_0}\\ =&a\end{align}$$ となり、1次関数の変化の割合は傾きと等しいことがわかる。

$y=a(x-p)+q$ のグラフで学んだことを用い、条件に合った1次関数の式を求めてみよう。

右の図のように原点を通らない直線で、$x$ 切片が $x_0$、$y$ 切片が $y_0$ である直線は、傾きが $-\dfrac{y_0}{x_0}$ であり $(0,~y_0)$ を通るので、$y=-\dfrac{y_0}{x_0}x+y_0$ となる。

原点を通らない直線

この式全体を $y_0$ で割ると $$\begin{align} &\dfrac{y}{y_0}=-\dfrac{x}{x_0}+1\\ \Leftrightarrow~&\dfrac{x}{x_0}+\dfrac{y}{y_0}=1 \end{align}$$ となる。

上の例題の3は、$x$ 切片が $3$、$y$ 切片が $5$ であるから $$\begin{align} &\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{5}=1\\ \Leftrightarrow~&5x+3y-15=0\\ \Leftrightarrow~&y=-\dfrac{5}{3}x+5 \end{align}$$ となりさきほどの解答と確かに一致する。

$x$軸対称の2本のグラフ

たとえば、1次関数 $$y=2x+1$$ と、右辺全体に $-1$ を掛けた1次関数 $$y=-2x-1$$ のグラフは、右図のように互いに $x$ 軸対称となっている。

これは、2つの1次関数に関して「同じ $x_0$ という値に対して、$y_0$ の値の絶対値は同じだか、符号は逆になるため」と考えれば明らかであろう。

$y$軸に対称な2本の直線

次に、1次関数 $$y=\dfrac{4}{3}x-2\tag{1}\label{yjikunitaisurutaisyoido1}$$ と、右辺の $x$ を $-x$ で置き換かえた1次関数 $$y=\dfrac{4}{3}(-x)-2=-\dfrac{4}{3}x-2\tag{2}\label{yjikunitaisurutaisyoido2}$$ のグラフを図示すると、下図のように互いに $y$ 軸対称となっている。

これは、2つの1次関数に関して「同じ $y_0$ という値をとるのが、$\eqref{yjikunitaisurutaisyoido1}$ では $x_0$、$\eqref{yjikunitaisurutaisyoido2}$ では $-x_0$ のときであるため」と考えれば納得できるだろう。具体的にいえば、$\eqref{yjikunitaisurutaisyoido1}$ の $x$ に $3$ を代入すると $y=2$ となり、$\eqref{yjikunitaisurutaisyoido2}$ の $x$ に $-3$ を代入すると同じく $y=2$ になるということである。