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2文字2次式の因数分解

ここでは、x についても y についても次数が同じ x2+4xy+3y2+x+5y2 という式の因数分解について考えてみよう。

【方法1:1次式の積の公式の逆利用を使う】

まず、x2+4xy+3y2+x+5y2x の式とみて、降べきの順に整理する。 x2+(4y+1)x+3y2+5y2 次に、x を含まない項について因数分解する。 x2+(4y+1)x+(3y1)(y+2)

1次式の積の公式の逆利用のときと同じように、下のような表を描き、隙間を埋めていく。 xy+2xx23y1(3y1)(y+2) より xy+2xx2(y+2)x3y1(3y1)x(3y1)(y+2) と表を作れるから (x+y+2)(x+3y1) と因数分解できる。

【方法2:3 マス × 3 マスの表を書く】

STEP1
因数分解する式 \boldsymbol{x^2}+4xy\boldsymbol{+3y^2}+x+5y\boldsymbol{-2} の、x^2の項(x^2)、y^2の項(3y^2)、定数項(−2)を下図のように、3\times 3の表に書き込む \begin{array}{c||c|} &&&\\\hline&\boldsymbol{x^2}&&\\\hline&&\boldsymbol{3y^2}&\\\hline&&&\boldsymbol{-2}\\\hline \end{array}

STEP2
左上から順にます目を埋めていく。
まずは x^2 の分解を考えたものが下図である。 \begin{array}{c||c|} &\boldsymbol{x}&&\\\hline\boldsymbol{x}&x^2&&\\\hline&&3y^2&\\\hline&&&-2\\\hline \end{array}

STEP3
3y^2=3y\times{y} と分解できるから、ます目を埋めると下図のようになる。このとき、新しくできた xy3xy を足したものが、因数分解する式の 4xy x^2\boldsymbol{+4xy}+3y^2+x+5y-2 と等しくなるような分解を考える(3y^2=(-3y)\times(-y) の分解では、-4xy となるので考えなくてよい) \begin{array}{c||c|} &x&y&\\\hline{x}&x^2&\boldsymbol{xy}&\\\hline3y&\boldsymbol{3xy}&3y^2&\\\hline&&&-2\\\hline \end{array}

STEP4
最後に、定数項(-2)の分解を考える。
下の2つは、x-2x を足しても x^2+4xy+3y^2\boldsymbol{+x}+5y-2 にならないのでその時点で失敗。 \begin{array}{c||c|} \times&x&y&1\\\hline{x}&x^2&xy&\boldsymbol{x}\\\hline3y&3xy&3y^2&\\\hline-2&\boldsymbol{-2x}&&-2\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \times&x&y&-2\\\hline{x}&x^2&xy&\boldsymbol{-2x}\\\hline3y&3xy&3y^2&\\\hline1&\boldsymbol{x}&&-2\\\hline \end{array} 最後の空欄を埋め、その和が x^2+4xy+3y^2+x\boldsymbol{+5y}-2 となるものが正解の表となる。

\begin{array}{c||c|} \times&x&y&-1\\\hline{x}&x^2&xy&-x\\\hline3y&3xy&3y^2&\boldsymbol{-3y}\\\hline2&2x&\boldsymbol{2y}&-2\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \bigcirc&x&y&2\\\hline{x}&x^2&xy&2x\\\hline3y&3xy&3y^2&\boldsymbol{6y}\\\hline-1&-x&\boldsymbol{-y}&-2\\\hline \end{array} 以上から (x+3y-1)(x+y+2) と因数分解できることがわかる。

2文字2次式の因数分解

次の式を因数分解せよ。

  1. 2x^2+5xy+3y^2+2x+4y-4
  2. 6x^2-5xy-6y^2+4x+7y-2

    • 【方法1】
      与式を x について降べきの順に整理すると \begin{align} &2x^2+5xy+3y^2+2x+4y-4\\ =&2x^2+(5y+2)x+3y^2+4y-4\\ =&2x^2+(5y+2)x\\ &\qquad+(3y-2)(y+2) \end{align} となり、表は \begin{array}{c||c|} &x&\\\hline2x&2x^2&\\\hline&&(3y-2)(y+2)\\\hline \end{array}\\ \downarrow\\ \begin{array}{c||c|} &x&y+2\\\hline2x&2x^2&(2y+4)x\\\hline3y-2&(3y-2)x&(3y-2)(y+2)\\\hline \end{array} と作れるので、 \begin{align} &2x^2+5xy+3y^2+2x+4y-4\\ =&\boldsymbol{(2x+3y-2)(x+y+2)} \end{align} となる。
    • 【方法2】
      3 マス \times 3 マスの表は \begin{array}{c||c|} &x&&\\\hline2x&2x^2&&\\\hline&&3y^2&\\\hline&&&-4\\\hline \end{array}\\ \downarrow\\ \begin{array}{c||c|} &x&y&\\\hline2x&2x^2&2xy&\\\hline3y&3xy&3y^2&\\\hline&&&-4\\\hline \end{array}\\ \downarrow\\ \begin{array}{c||c|} &x&y&2\\\hline2x&2x^2&2xy&4x\\\hline3y&3xy&3y^2&6y\\\hline-2&-2x&-2y&-4\\\hline \end{array} と作れるので、 \begin{align} &2x^2+5xy+3y^2+2x+4y-4\\ =&\boldsymbol{(2x+3y-2)(x+y+2)} \end{align} となる。
    • 【方法1】
      与式を x について降べきの順に整理すると \begin{align} &6x^2-5xy-6y^2+4x+7y-2\\ =&6x^2+(-5y+4)x\\ &\qquad-(6y^2-7y+2)\\ =&6x^2+(-5y+4)x\\ &\qquad-(3y-2)(2y-1) \end{align} となり、表は \begin{array}{c||c|} &3x&\\\hline2x&6x^2&\\\hline&&-(3y-2)(2y-1)\\\hline \end{array}\\ \downarrow\\ \begin{array}{c||c|} &3x&2y-1\\\hline2x&6x^2&(4y-2)x\\\hline-(3y-2)&(-9y+6)x&-(3y-2)(2y-1)\\\hline \end{array} と作れるので、 \begin{align} &6x^2-5xy-6y^2+4x+7y-2\\ =&\boldsymbol{(2x-3y+2)(3x+2y-1)} \end{align} となる。
    • 【方法2】
      3\times3 の表は \begin{array}{c||c|} &3x&&\\\hline2x&6x^2&&\\\hline&&-6y^2&\\\hline&&&-2\\\hline \end{array}\\ \downarrow\\ \begin{array}{c||c|} &3x&2y&\\\hline2x&6x^2&4xy&\\\hline-3y&-9xy&-6y^2&\\\hline&&&-2\\\hline \end{array}\\ \downarrow\\ \begin{array}{c||c|} &3x&2y&-1\\\hline2x&6x^2&4xy&-2x\\\hline-3y&-9xy&-6y^2&3y\\\hline2&6x&4y&-2\\\hline \end{array} と作れるので、 \begin{align} &6x^2-5xy-6y^2+4x+7y-2\\ =&\boldsymbol{(2x-3y+2)(3x+2y-1)} \end{align} となる。