実数とは何か

数直線上の点として表される数、すなわち有理数と無理数をあわせた数を実数 (real number) という。

(注)

有理数と無理数を考えることにより、数直線上の点はすきま無くみっちり埋まる。

(注)

たとえば \[-\sqrt{23},~-2\sqrt{3},~5\sqrt{2},~\sqrt{987}\] などは、どれも無理数である。また \[\begin{align} \text{円周率}~&\pi=3.1415926\cdots\\ \text{ネイピア数}~&e=2.7182818\cdots \end{align}\] も無理数であることが知られている。

今後、$a$、$b$、$x$ など、文字で数を表すとき、特にことわりが無ければ、その数は実数であるとする。

以上見てきたいろいろな数について、まとめると次のようになる。

数の分類

数の分類

数の分類

次の実数について、以下の問に答えよ。 \[\begin{align}&3,~-2,~0,~\dfrac{2}{5},~-\dfrac{2}{5},~\sqrt{3},\\&1.\dot{5}\dot{2},~\dfrac{36}{6},~-\sqrt{16},~\left(\sqrt{5}~\right)^2,~2\pi\end{align}\]

  1. 自然数を選べ。
  2. 整数を選べ。
  3. 有理数を選べ。
  4. 無理数を選べ。

  1. $\boldsymbol{3,~\dfrac{36}{6},~\left(\sqrt{5}~\right)^2}$
  2. $\boldsymbol{3,~-2,~0,~\dfrac{36}{6},~-\sqrt{16},~\left(\sqrt{5}~\right)^2}$
  3. $\begin{align}&\boldsymbol{3,~-2,~0,~\dfrac{2}{5},~-\dfrac{2}{5},}\\&\boldsymbol{1.\dot{5}\dot{2},~\dfrac{36}{6},~-\sqrt{16},~\left(\sqrt{5}~\right)^2}\end{align}$
  4. $\boldsymbol{\sqrt{3},~2\pi}$