中心と半径が与えられたとき（空間）

点$\text{C}(\vec{c})$ を中心とする，半径$r$ の球を$S$ とする．このとき，この球面上を動くの点$\text{P}$ の位置ベクトル$\vec{p}$ の表し方を考えよう．

点$\text{P}$ が球$S$ 上にあるとき，常に線分$\text{CP}$ の長さは$r$，すなわち$\left|\overrightarrow{\text{CP}}\right| = r$ となるから

\begin{align} &\left|\overrightarrow{\text{CP}}\right| = r\\ \Leftrightarrow& \left|\vec{p} −\vec{c}\right| = r \tag{1}\label{chuushintohankeigaataeraretatoki1} \end{align}

が成り立つ．この$\eqref{chuushintohankeigaataeraretatoki1}$を球$S$ベクトル方程式という．

また，座標空間内で$\vec{c}$ が$\vec{c} = \left( \begin{array}{c} x_0\\ y_0\\ z_0\\ \end{array} \right)$ と成分表示された場合， $\vec{p} = \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right)$ とおくと

\begin{align} &\left|\vec{p} −\vec{c}\right| = r \\ \Leftrightarrow &\left|\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right) − \left( \begin{array}{c} x_0\\ y_0\\ z_0\\ \end{array} \right) \right| = r \Leftrightarrow \left|\left( \begin{array}{c} x − x_0\\ y − y_0\\ z − z_0\\ \end{array} \right) \right| = r\\ \Leftrightarrow &\sqrt{(x − x_0)^2 + (y − y_0)^2 + (z − z_0)^2} = r\\ \Leftrightarrow &(x − x_0)^2 + (y − y_0)^2 + (z − z_0)^2 = r^2 \end{align}

となり，これを座標空間における球の方程式という．