数学B 第7章 空間ベクトルと空間図形 — ベクトル方程式（空間）
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この節の前提 ベクトル方程式 ／ 空間座標 ／ 空間ベクトルの内積
直線のベクトル方程式（空間）
直線の通る1点と方向ベクトルが与えられたとき（空間）
空間内の点A(a) 0 d l P p
まず、点P l AP ∥ d
AP = td
となる実数t
OP =OA +AP
つまり p = a + td ①
が成り立つ
次に、座標空間内で成分表示されたベクトルのベクトル方程式を考えてみよう。
点A(x0, y0, z0) d = ( dx dy dz ) P P(x, y, z) a = ( x0 y0 z0 ) , p = ( x y z ) ① p = a + td ⇔ ( arrayc x y z array ) = ( arrayc x0 y0 z0 array ) + t ( arrayc dx dy dz array ) ⇔ { arrayl x = x0 + dxt y = y0 + dyt z = z0 + dzt array .
と表せる。これを、t l
dx ≠ 0 dy ≠ 0 dz ≠ 0 t
(t =)(x − x0)/dx=(y − y0)/dy=(z − z0)/dz
と表せる。
問題1直線のベクトル方程式 I
以下のそれぞれについて、点A d l t
A(2, 1, − 2), d = ( 4 3 1 ) A(4, 0, 1), d = ( −3 2 0 ) A(−1, 3, 0), d = ( 2 0 −1 ) A(−2, 1, 0), d = ( 0 −3 0 )
解答を見る
{ x = 2 + 4t y = 1 + 3t z = −2 + t .
それぞれの式をt t =(x – 2)/4 t =(y – 1)/3 t = z + 2
(x – 2)/4=(y – 1)/3= z + 2
{ x = 4 − 3t y = 2t z = 1 .
それぞれの式をt t = (x – 4)/(−3) t =y/2 z 1
(x – 4)/(−3)=y/2, z = 1
{ x = −1 + 2t y = 3 z = −t .
それぞれの式をt t = (x + 1)/2 t =z/(−1) y 3
(x + 1)/2=z/(−1), y = 3
{ x = −2 y = 1 − 3t z = 0 .
t y x −2 z 0
x = −2 , z = 0 , y はすべての実数
直線の通る2点が与えられたとき（空間）
空間内の異なる2 点A(a), B(b) l l A(a) d = AB = b − a l P(p)
p = a + t(b − a) ⇔ p = (1 − t)a + tb ②
となる。
この式を利用して、座標空間内の2 点が与えられたときの直線の方程式を求めてみ
よう。
a = ( x0 y0 z0 ) b = ( x1 y1 z1 ) p = ( x y z ) x1 ≠ x0 y1 ≠ y0 z1 ≠ z0 ②
p = (1 − t)a + tb ⇔ ( arrayc x y z array ) = (1 − t) ( arrayc x0 y0 z0 array ) + t ( arrayc x1 y1 z1 array ) ⇔ { arrayl x = (1 − t)x0 + tx1 y = (1 − t)y0 + ty1 z = (1 − t)z0 + tz1 array . ⇔ { arrayl x − x0 = t(x1 − x0) y − y0 = t(y1 − y0) z − z0 = t(z1 − z0) array . ⇔ { arrayl t =(x − x0)/(x1 − x0) t =(y − y0)/(y1 − y0) t =(z − z0)/(z1 − z0) array .
これより、t
(t =)(x − x0)/(x1 − x0)=(y − y0)/(y1 − y0)=(z − z0)/(z1 − z0)
を得る。なお、たとえば x1 = x0 x x0 x = x0 (y − y0)/(y1 − y0)=(z − z0)/(z1 − z0)
この式は、直線の通る1 点A(a) a = ( x0 y0 z0 ) d d = b − a = ( x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0 )
として、「直線の通る1 点と方向ベクトルが与えられたとき」 の(1)を用いた結果に他ならない。
問題22 直線の距離
空間内に2 直線
l :OP =OA + tdl m :OQ =OB + sdm
がねじれの位置にあるとする（s, t
直線l m d AB dl × dm
点 A(5, 3, − 2) dl = ( 2 1 −1 ) B(2, − 1, 6) dm = ( 1 −1 −5 ) l m
解答を見る
AB dl × dm AB→(dl × dm) AB→(dl × dm) = (AB ・ (dl × dm))/(|dl × dm|²) dl × dm
であり、 dl × dm dl dm A l B m l m |AB→(dl × dm) | l m d
|AB→(dl × dm) | =(|AB ・(dl × dm) |)/(|dl × dm|²)|dl × dm| =(|AB ・(dl × dm) |)/(|dl × dm|)
AB =OB−OA = ( 2 −1 6 ) − ( 5 3 −2 ) = ( −3 −4 8 ) dl× dm = ( 2 1 −1 ) × ( 1 −1 −5 ) = ( −6 9 −3 )
d =(|AB ・ (dl × dm) |)/(|dl × dm|) =|( arrayc −3 −4 8 array ) ・ ( arrayc −6 9 −3 array ) | |( arrayc −6 9 −3 array ) | =(| (−3) ・ (−6) + (−4) ・ 9 + 8 ・ (−3) |)/√((−6)² + 9² + (−3)²) = 42/3√14=√14
平面のベクトル方程式
平面上の3点が与えられたとき
ここでは、同一直線上にない空間内の3 点A(a), B(b), C(c) α
まず、平面α P(p) AP AB AC
AP = sAB + tAC
と表すことができる。
これを用いてOP
OP =OA +AP =OA + sAB + tAC
と表すことができる。 OP = p OA = a AB =b − a AC = c − a
p = a + s(b − a) + t(c − a) = (1 − s − t)a + sb + tc ①
平面上の1点と法線ベクトルが与えられたとき
次に、平面α A(a) α n
平面α P(p) AP n
n ・ AP = 0 ⇔ n ・ (p − a) = 0 ②
と表すことができる。
次に、座標空間内で成分表示されたベクトルのベクトル方程式をみていこう。
点A(x0, y0, z0) n = ( a b c ) α P(x, y, z) a = ( x0 y0 z0 ) p = ( x y z ) ②
( arrayc a b c array ) ・ ( ( arrayc x y z array ) − ( arrayc x0 y0 z0 array ) ) = 0 ⇔ ( arrayc a b c array ) ・ ( arrayc x − x0 y − y0 z − z0 array ) = 0 ⇔ a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0
問題3平面のベクトル方程式
点A(x0, y0, z0) ax + by + cz + d = 0 p
p =(|ax0 + by0 + cz0 + d|)/( √(a² + b² + c²))
であることを証明せよ。
点(1, 1, 1) 3x + 6y + 2z + 3 = 0
解答を見る
点A A P(x1, y1, z1) n = ( a b c ) PA 0° 180°
1 =|(n ・ PA)/(|n| ・ |PA|)| ⇔ |PA| =(|n ・ PA|)/|n| = | ( arrayc a b c array ) ・ ( arrayc x0 − x1 y0 − y1 z0 – z1 array ) | √(a² + b² + c²) ⇔ |PA| = (|a(x0 − x1) + b(y0 − y1) + c(z0 − z1) |)/( √(a² + b² + c²)) ⇔ |PA| = (|ax0 + by0 + cz0 + d|)/( √(a² + b² + c²))
ここで、P |PA| = p
p =(|ax0 + by0 + cz0 + d|)/( √(a² + b² + c²)) A ax0 + by0 + cz0 + d = 0 p = 0
の関係を用いて
p =(|3 ・ 1 + 6 ・ 1 + 2 ・ 1 + 3|)/( √(3² + 6² + 2²))= 2
球面のベクトル方程式
中心と半径が与えられたとき（空間）
点C(c) r S P p
点P S CP r |CP| = r
|CP| = r ⇔ |p −c| = r ①
が成り立つ。この① S
また、座標空間内でc c = ( x0 y0 z0 ) p = ( x y z )
|p −c| = r ⇔ |( arrayc x y z array ) − ( arrayc x0 y0 z0 array ) | = r ⇔ |( arrayc x − x0 y − y0 z − z0 array ) | = r ⇔ √((x − x0)² + (y − y0)² + (z − z0)²) = r ⇔ (x − x0)² + (y − y0)² + (z − z0)² = r²
となり、これを座標空間における球の方程式 という。
直径の両端が与えられたとき（空間）
異なる2 点A(a) B(b) S P p
点P S AP BP AP ・ BP = 0
AP ・ BP = 0 ⇔ (p − a) ・ (p − b) = 0 ②
が成り立つ。この② S
また、座標空間内でa a = ( ax ay az ) , b = ( bx by bz ) p = ( x y z )
(p − a) ・ (p − b) = 0 ⇔ ( ( arrayc x y z array ) − ( arrayc ax ay az array ) ) ・ ( ( arrayc x y z array ) − ( arrayc bx by bz array ) ) = 0 ⇔ ( arrayc x – ax y – ay z – az array ) ・ ( arrayc x − bx y – by z – bz array ) = 0 ⇔ (x − ax)(x − bx) + (y − ay)(y − by) + (z − az)(z − bz) = 0
となり、これは2 点A(ax, ay, az) B(bx, by, bz)
問題4球面のベクトル方程式
以下の条件を満たす球面の方程式を求めよ。
中心が (1, − 2, 3) 4
中心が原点で、点(6, 3, 2)
直径の両端が (5, − 2, 2), (1, 6, 4)
解答を見る
中心と半径が与えられたとき球のベクトル方程式より
⇔ |p −c| = 4 ⇔ | ( arrayc x y z array ) − ( arrayc 1 −2 3 array ) | = 4 ⇔ √((x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² )= 4 ∴(x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 16
中心が原点なので、半径をr
x² + y² + z² = r²
となる。ここで、(6, 3, 2)
6² + 3² + 2² = r² ⇔ r² = 49
したがって、求める方程式は x² + y² + z² = 49
直径の両端が与えられたときのベクトル方程式より
(p − a) ・ (p − b) = 0 ⇔ ( arrayc x – 5 y + 2 z – 2 array ) ・ ( arrayc x – 1 y – 6 z – 4 array ) = 0 ⇔ (x − 5)(x − 1) + (y + 2)(y − 6) + (z − 2)(z − 4) = 0 ⇔ (x − 3)² + (y − 2)² + (z − 3)² = 21
最終更新: 2026-09-03
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