不等式の数学的帰納法

ここでは,数学的帰納法を利用して不等式を証明する.

基本的な数学的帰納法~その2~

すべての自然数 $n$ において

\[3^n\gt n+1\tag{1}\label{hutosikinokinoho1}\]

が成り立つことを証明せよ.

  1. $n=1$ のとき
  2. \begin{align} (左辺)&=3^1=3\\ (右辺)&=1+1=2 \end{align}

    となるので,確かに $\eqref{hutosikinokinoho1}$ は成り立つ.

  3. $n=m$ のとき( $m$ はある自然数とする) $\eqref{hutosikinokinoho1}$ が成り立つと仮定する,つまり
  4. \[3^m\gt m+1\tag{2}\label{hutosikinokinoho2}\]

    を仮定する.

    このとき, $\eqref{hutosikinokinoho1}$ で $n=m+1$ とおいた等式

    \[3^{m+1}\gt m+2\tag{3}\label{hutosikinokinoho3}\]

    が成り立つのを以下に示す.

    仮定 $\eqref{hutosikinokinoho2}$ を使えるような形にするため $3^m$ をくくり出す

    \begin{align} &(\eqref{hutosikinokinoho3}の左辺)\\ =\ &3^{m+1}\\ =\ &3\cdot3^m\\ \gt\ &3\cdot(m+1)\qquad\qquad\because{\eqref{hutosikinokinoho2}}\\ =\ &3m+3\\ =\ &m+2+(2m+1)\\ \gt\ &m+2\qquad\qquad\qquad\because{2m+1\gt0}\\ =\ &(\eqref{hutosikinokinoho3}の右辺) \end{align}

    $\blacktriangleleft$ 正の数 $(2m+1)$ をなくせば,全体として小さくなる

    よって, $n=m$ のとき $\eqref{hutosikinokinoho1}$ が成り立つと仮定すれば, $n=m+1$ の場合も $\eqref{hutosikinokinoho1}$ が成り立つことがいえた.

1. 2. によって,数学的帰納法からすべての自然数 $n$ について, $\eqref{hutosikinokinoho1}$ は成り立つ.