三角関数を含む関数・方程式・不等式について
三角関数を含む関数・方程式・不等式について
三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その1〜
- 関数y=cos2θ−2sinθ+1 (0≦θ<2π)の最大値・最小値を求めよ.
- 0≦θ<2πのとき,方程式sin2θ=cosθ+1を解きなさい.
- 0≦θ<2πのとき,不等式2cos2θ+sinθ>2を解きなさい.
-
y=cos2θ−2sinθ+1=(1−sin2θ)−2sinθ+1
←拡張された三角関数の相互関係を用いてsinθにそろえた
sinθ=tとおく.0≦θ<2πより−1≦t≦1なので
y=−t2−2t+2=−(t+1)2+3 (−1≦t≦1)←tについての2次関数の最大・最小の問題になった
図より,yは
t=−1のとき最大値3,t=1のとき最小値 −1
をとる.t=sinθなので
θ=32πのとき最大値3
θ=π2のとき最小値−1
-
sin2θ=cosθ+1⇔ 1−cos2θ=cosθ+1⇔ cos2θ+cosθ=0⇔ cosθ(cosθ+1)=0⇔ cosθ=0, −1
0≦θ<2πの範囲でcosθ=0, −1を満たすθは,図より\boldsymbol{\theta=\dfrac{\pi}{2},~\pi,~\dfrac{3}{2}\pi}.
-
2\cos^2\theta+\sin\theta>2
\Leftrightarrow~2(1-\sin^2\theta)+\sin\theta>2
←拡張された三角関数の相互関係を用いて\cos\thetaにそろえた.
\Leftrightarrow~-2\sin^2\theta+\sin\theta>0 \Leftrightarrow~\sin\theta(2\sin\theta-1)<0←\sin^2\thetaの係数を正にするため,両辺を − 1で割ってから因数分解した
\Leftrightarrow~0<\sin\theta<\dfrac{1}{2}0\leqq{\theta}<2\piの範囲で上の不等式を満たす\thetaの範囲は,図の太線部分である.すなわち
\begin{align} \boldsymbol{0<\sin\theta<\dfrac{\pi}{6},~\dfrac{5}{6}\pi<\theta<\pi} \end{align}
三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その2〜
- 関数y=-\cos 2\theta -2\sin\theta ~~(0\leqq \theta <2\pi)の最大値・最小値を求めよ.
- 0\leqq \theta <2\piのとき,方程式\sin 2\theta =\cos \thetaを解きなさい.
- 0\leqq \theta <2\piのとき,方程式\tan^2 \dfrac{\theta}{2} =1-\cos \thetaを解きなさい.
- 0\leqq \theta <2\piのとき,不等式\cos 2\theta -\cos \theta \geqq 0を解きなさい.
- 0\leqq \theta <2\piのとき,不等式\cos^2 \dfrac{\theta}{2} \geqq\cos \theta+1を解きなさい.
-
\begin{align}
y=&=-\cos2\theta-2\sin\theta\\
&=-(1-2\sin^2\theta)-2\sin\theta
\end{align}
←2倍角の公式を用いて\sin\thetaにそろえた.
\sin\theta=tとおく.0\leqq{\theta}<2\piより-1\leqq{t}\leqq{1}なので
\begin{align} y&=2t^2-2t-1\\ &=2\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{3}{2} \end{align}図より,yは
t = − 1のとき最大値3,t=\dfrac{1}{2}のとき最小値-\dfrac{2}{3}
をとる.t = \sin\thetaなので
\theta=\dfrac{3}{2}\piのとき最大値3
\theta=\dfrac{\pi}{6},~\dfrac{5}{6}\piのとき最小値-\dfrac{2}{3}
-
\begin{align}
&\sin2\theta=\cos\theta\\
\Leftrightarrow~&2\sin\theta\cos\theta=\cos\theta\\
\Leftrightarrow~&\cos\theta(2\sin\theta-1)=0\\
\Leftrightarrow~&\cos\theta=0,~\sin\theta=\dfrac{1}{2}
\end{align}
←2倍角の公式を用いて共通因数を作った.
0\leqq{\theta}<2\piの範囲で\cos\theta=0,~\sin\theta=\dfrac{1}{2}を満たす\thetaは,図より
\begin{align} \boldsymbol{\theta=\dfrac{\pi}{6},~\dfrac{\pi}{2},~\dfrac{5}{6}\pi,~\dfrac{3}{2}\pi}. \end{align} -
\begin{align}
&\tan^2\dfrac{\theta}{2}=1-\cos\theta\\
\Leftrightarrow~ &\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}=1-\cos\theta\\
\Leftrightarrow~ &1-\cos\theta=(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)\\
\Leftrightarrow~ &\cos^2\theta-\cos\theta=0\\
\Leftrightarrow~ &\cos\theta(\cos\theta-1)=0\\
\Leftrightarrow~ &\cos\theta=0,~\cos\theta=1
\end{align}
←半角の公式を用いて\cos\thetaにそろえた.
0\leqq{\theta}<2\piの範囲で\cos\theta=0,~\cos\theta=1を満たす\thetaは,図より
\begin{align} \boldsymbol{\theta=0,~\dfrac{\pi}{2},~\dfrac{3}{2}\pi}. \end{align} -
\begin{align}
&\cos2\theta-\cos\theta\geqq{0} \\
&\Leftrightarrow (2\cos^2\theta-1)-\cos\theta\geqq{0}\\
&\Leftrightarrow (2\cos\theta+1)(\cos\theta-1)\geqq{0}\\
&\Leftrightarrow \cos\theta\leqq{-\dfrac{1}{2}},~1\leqq{\cos\theta}
\end{align}
←2倍角の公式を用いて\cos\thetaでそろえた
0\leqq{\theta}<2\piの範囲で上の不等式を満たす\thetaの範囲は,図の網掛け部分である.すなわち
\begin{align} \boldsymbol{\theta=0,~\dfrac{2}{3}\pi\leqq{\theta}\leqq{\dfrac{4}{3}\pi}} \end{align} -
\begin{align}
&\cos^2\dfrac{\theta}{2}\geqq\cos\theta+1 \\
&\Leftrightarrow \dfrac{1+\cos\theta}{2}\geqq\cos\theta+1\\
&\Leftrightarrow 1+\cos\theta\geqq2\cos\theta+2\\
&\Leftrightarrow \cos\theta\leqq-1
\end{align}
←半角の公式を用いて\cos\thetaでそろえた
0\leqq{\theta}<2\piの範囲で上の不等式を満たす\thetaの範囲は,図の太線部分である.すなわち
\begin{align} \boldsymbol{\theta=\pi}. \end{align}
三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜
- 0\leqq \theta <2\piのとき,方程式\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta =1を解きなさい.
- 0\leqq \theta <2\piのとき,不等式\sin\theta +\cos\theta <0を解きなさい.
- 関数y=\sin\theta +\sqrt{3}\cos \theta~~(0\leqq \theta <2\pi)の最大値・最小値を求めよ.
三角関数の合成より
\begin{align} &\sin\theta-\sqrt{3}\cos\theta=1\\ \Leftrightarrow &2\left\{\dfrac{1}{2}\sin\theta +\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\cos\theta\right\}=1\\ \Leftrightarrow &2\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)=1 \end{align}\theta-\dfrac{\pi}{3}=\theta'とおくと
\begin{align} \sin\theta'=\dfrac{1}{2}. \end{align}0\leqq{\theta}<2\piより,-\dfrac{\pi}{3}\leqq{\theta'}<\dfrac{5}{3}\piである. この範囲で\sin\theta'=\dfrac{1}{2}を満たす\theta'は,図より
\begin{align} \theta'=\dfrac{1}{6}\pi,~\dfrac{5}{6}\pi. \end{align}\theta=\theta'+\dfrac{\pi}{3}なので
\begin{align} \boldsymbol{\theta=\dfrac{1}{2}\pi,~\dfrac{7}{6}\pi}. \end{align}三角関数の合成より
\begin{align} &\sin\theta+\cos\theta<0\\ \Leftrightarrow &\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin\theta+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta\right)<0\\ \Leftrightarrow &\sqrt{2}\sin\left(\theta+\dfrac{1}{4}\pi\right)<0 \end{align}\theta+\dfrac{1}{4}\pi=\theta'とおくと
\begin{align} \sin\theta'<0. \end{align}0\leqq{\theta}<2\piより, \dfrac{1}{4}\pi\leqq{\theta'}<\dfrac{9}{4}\piなので,この範囲で上の不等式を満たす\theta'は, 図の網掛け部分である.すなわち
\begin{align} \pi<\theta'<2\pi. \end{align}\theta=\theta'-\dfrac{1}{4}\piなので
\begin{align} \boldsymbol{\dfrac{3}{4}\pi<\theta<\dfrac{7}{4}\pi}. \end{align}三角関数の合成より
\begin{align} y=\sin\theta+\sqrt{3}\cos \theta &=2\left(\dfrac12\sin\theta + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta\right)\\ &=2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right) \end{align}\theta'=\theta+\dfrac{\pi}{3}とおくと,
この三角関数はy = 2\sin\theta'.
0\leqq\theta<2\thetaより,\dfrac{\pi}{3}\leqq \theta' <\dfrac{7}{3}\piなので,
\theta'=\dfrac{\pi}{2}のとき最大値2,\theta'=\dfrac{3}{2}\piのとき最小値 − 2.
\theta=\theta'-\dfrac{\pi}{3}なので
\theta=\dfrac{\pi}{6}のとき,最大値2
\theta=\dfrac{7}{6}\piのとき,最小値-2
t=\sin x+\cos xとおく
関数f(x)=\sin{x} \cos{x} -\sin{x} -\cos{x}~~(0\leqq x \leqq\pi)について以下の問いに答えよ.
- t=\sin{x}+\cos{x}とする.f(x)をtの式で表せ.
- tのとりうる値を求めよ.
- f(x)の最大値・最小値と,それぞれを与えるxの値を求めよ.
t^2=(\sin{x}+\cos{x})^2=1 +2\sin{x}\cos{x}なので
\begin{align} \sin{x}\cos{x}=\dfrac{t^2 -1}{2} \end{align}これを代入すれば
\begin{align} f(x)&=\dfrac{t^2 -1}{2} -(\sin{x} +\cos{x})\\ &=\boldsymbol{\dfrac{1}{2} t^2 -t - \dfrac{1}{2}} \end{align}三角関数の合成より
\begin{align} t&=\sin{x} +\cos{x}\\ &=\sqrt{2}~\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin{x} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos{x} \right)\\ &=\sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) \end{align}0\leqq x \leqq \piより,\dfrac{\pi}{4} \leqq x+\dfrac{\pi}{4} \leqq \dfrac{5}{4}\piなので 図より-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\leqq\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)\leqq 1である.
つまり,t=\sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)のとりうる範囲は \boldsymbol{-1 \leqq t \leqq \sqrt{2}}.
1.,2.より,f(x)=\dfrac{1}{2} t^2 -t - \dfrac{1}{2} ~~(-1 \leqq t \leqq \sqrt{2}) である.これをtについて平方完成すると
\begin{align} f(x)=\dfrac{1}{2}(t-1)^2-1 \end{align}となる.図より,f(x)は
t = − 1のとき1で最大,t = 1のとき − 1で最小
となる.それぞれのときのxの値を求めると
\begin{align} t=-1 \Leftrightarrow ~& \sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)=-1\\ \Leftrightarrow ~& \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \Leftrightarrow ~& x + \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{5}{4}\pi ~~~~\Leftrightarrow ~~ x=\pi\\ t=1 \Leftrightarrow ~& \sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)=1\\ \Leftrightarrow ~& \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \Leftrightarrow ~& x + \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4},~\dfrac{3}{4}\pi\\ ~~~~\Leftrightarrow~&~ x=0,~\dfrac{\pi}{2} \end{align}以上をまとめて,f(x)は
x = \piのとき1で最大
x=0,~\dfrac{\pi}{2}のとき − 1で最小