三角関数を含む関数・方程式・不等式について

三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その1〜

関数 $y=\cos^2 \theta -2\sin\theta +1~~(0\leqq \theta <2\pi)$ の最大値・最小値を求めよ．
$0\leqq \theta <2\pi$ のとき，方程式 $\sin^2 \theta =\cos \theta+1$ を解きなさい．
$0\leqq \theta <2\pi$ のとき，不等式 $2\cos^2 \theta +\sin \theta >2$ を解きなさい．

三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その1〜の解答

$\begin{align} y&=\cos^2\theta-2\sin\theta+1\\ &=(1-\sin^2\theta)-2\sin\theta+1 \end{align}$
←拡張された三角関数の相互関係を用いて $\sin\theta$ にそろえた
$\sin\theta = t$ とおく． $0\leqq{\theta}<2\pi$ より $-1\leqq{t}\leqq{1}$ なので
$\begin{align} y&=-t^2-2t+2\\ &=-(t+1)^2+3~~(-1\leqq t \leqq 1) \end{align}$
← $t$ についての2次関数の最大・最小の問題になった
図より， $y$ は
$t = − 1$ のとき最大値 $3$ , $t = 1$ のとき最小値 $− 1$
をとる． $t =\sin\theta$ なので

$\theta=\dfrac{3}{2}\pi$ のとき最大値 $3$
$\theta=\dfrac{\pi}{2}$ のとき最小値 $-1$

$\begin{align} &\sin^2\theta=\cos\theta+1\\ \Leftrightarrow~&1-\cos^2\theta=\cos\theta+1\\ \Leftrightarrow~&\cos^2\theta+\cos\theta=0\\ \Leftrightarrow~&\cos\theta(\cos\theta+1)=0\\ \Leftrightarrow~&\cos\theta=0,~-1 \end{align}$

$0\leqq{\theta}<2\pi$ の範囲で $\cos\theta=0,~-1$ を満たす $\theta$ は，図より $\boldsymbol{\theta=\dfrac{\pi}{2},~\pi,~\dfrac{3}{2}\pi}$ ．

$2\cos^2\theta+\sin\theta>2$ $\Leftrightarrow~2(1-\sin^2\theta)+\sin\theta>2$
←拡張された三角関数の相互関係を用いて $\cos\theta$ にそろえた．
$\Leftrightarrow~-2\sin^2\theta+\sin\theta>0$ $\Leftrightarrow~\sin\theta(2\sin\theta-1)<0$
← $\sin^2\theta$ の係数を正にするため，両辺を $− 1$ で割ってから因数分解した
$\Leftrightarrow~0<\sin\theta<\dfrac{1}{2}$
$0\leqq{\theta}<2\pi$ の範囲で上の不等式を満たす $\theta$ の範囲は，図の太線部分である．すなわち
$\begin{align} \boldsymbol{0<\sin\theta<\dfrac{\pi}{6},~\dfrac{5}{6}\pi<\theta<\pi} \end{align}$

三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その2〜

関数 $y=-\cos 2\theta -2\sin\theta ~~(0\leqq \theta <2\pi)$ の最大値・最小値を求めよ．
$0\leqq \theta <2\pi$ のとき，方程式 $\sin 2\theta =\cos \theta$ を解きなさい．
$0\leqq \theta <2\pi$ のとき，方程式 $\tan^2 \dfrac{\theta}{2} =1-\cos \theta$ を解きなさい．
$0\leqq \theta <2\pi$ のとき，不等式 $\cos 2\theta -\cos \theta \geqq 0$ を解きなさい．
$0\leqq \theta <2\pi$ のとき，不等式 $\cos^2 \dfrac{\theta}{2} \geqq\cos \theta+1$ を解きなさい．

三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その2〜の解答

$\begin{align} y=&=-\cos2\theta-2\sin\theta\\ &=-(1-2\sin^2\theta)-2\sin\theta \end{align}$
←2倍角の公式を用いて $\sin\theta$ にそろえた．
$\sin\theta=t$ とおく． $0\leqq{\theta}<2\pi$ より $-1\leqq{t}\leqq{1}$ なので
$\begin{align} y&=2t^2-2t-1\\ &=2\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{3}{2} \end{align}$
図より， $y$ は
$t = − 1$ のとき最大値 $3$ , $t=\dfrac{1}{2}$ のとき最小値 $-\dfrac{2}{3}$
をとる． $t = \sin\theta$ なので

$\theta=\dfrac{3}{2}\pi$ のとき最大値 $3$
$\theta=\dfrac{\pi}{6},~\dfrac{5}{6}\pi$ のとき最小値 $-\dfrac{2}{3}$

$\begin{align} &\sin2\theta=\cos\theta\\ \Leftrightarrow~&2\sin\theta\cos\theta=\cos\theta\\ \Leftrightarrow~&\cos\theta(2\sin\theta-1)=0\\ \Leftrightarrow~&\cos\theta=0,~\sin\theta=\dfrac{1}{2} \end{align}$
←2倍角の公式を用いて共通因数を作った．
$0\leqq{\theta}<2\pi$ の範囲で $\cos\theta=0$ , $~\sin\theta=\dfrac{1}{2}$ を満たす $\theta$ は，図より
$\begin{align} \boldsymbol{\theta=\dfrac{\pi}{6},~\dfrac{\pi}{2},~\dfrac{5}{6}\pi,~\dfrac{3}{2}\pi}． \end{align}$

$\begin{align} &\tan^2\dfrac{\theta}{2}=1-\cos\theta\\ \Leftrightarrow~ &\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}=1-\cos\theta\\ \Leftrightarrow~ &1-\cos\theta=(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)\\ \Leftrightarrow~ &\cos^2\theta-\cos\theta=0\\ \Leftrightarrow~ &\cos\theta(\cos\theta-1)=0\\ \Leftrightarrow~ &\cos\theta=0,~\cos\theta=1 \end{align}$
←半角の公式を用いて $\cos\theta$ にそろえた．
$0\leqq{\theta}<2\pi$ の範囲で $\cos\theta=0$ , $~\cos\theta=1$ を満たす $\theta$ は，図より
$\begin{align} \boldsymbol{\theta=0,~\dfrac{\pi}{2},~\dfrac{3}{2}\pi}． \end{align}$

$\begin{align} &\cos2\theta-\cos\theta\geqq{0} \\ &\Leftrightarrow (2\cos^2\theta-1)-\cos\theta\geqq{0}\\ &\Leftrightarrow (2\cos\theta+1)(\cos\theta-1)\geqq{0}\\ &\Leftrightarrow \cos\theta\leqq{-\dfrac{1}{2}},~1\leqq{\cos\theta} \end{align}$
←2倍角の公式を用いて $\cos\theta$ でそろえた
$0\leqq{\theta}<2\pi$ の範囲で上の不等式を満たす $\theta$ の範囲は，図の網掛け部分である．すなわち
$\begin{align} \boldsymbol{\theta=0,~\dfrac{2}{3}\pi\leqq{\theta}\leqq{\dfrac{4}{3}\pi}} \end{align}$

$\begin{align} &\cos^2\dfrac{\theta}{2}\geqq\cos\theta+1 \\ &\Leftrightarrow \dfrac{1+\cos\theta}{2}\geqq\cos\theta+1\\ &\Leftrightarrow 1+\cos\theta\geqq2\cos\theta+2\\ &\Leftrightarrow \cos\theta\leqq-1 \end{align}$
←半角の公式を用いて $\cos\theta$ でそろえた
$0\leqq{\theta}<2\pi$ の範囲で上の不等式を満たす $\theta$ の範囲は，図の太線部分である．すなわち
$\begin{align} \boldsymbol{\theta=\pi}． \end{align}$

三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜

$0\leqq \theta <2\pi$ のとき，方程式 $\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta =1$ を解きなさい．
$0\leqq \theta <2\pi$ のとき，不等式 $\sin\theta +\cos\theta <0$ を解きなさい．
関数 $y=\sin\theta +\sqrt{3}\cos \theta~~(0\leqq \theta <2\pi)$ の最大値・最小値を求めよ．

三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜の解答

三角関数の合成より
$\begin{align} &\sin\theta-\sqrt{3}\cos\theta=1\\ \Leftrightarrow &2\left\{\dfrac{1}{2}\sin\theta +\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\cos\theta\right\}=1\\ \Leftrightarrow &2\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)=1 \end{align}$
$\theta-\dfrac{\pi}{3}=\theta'$ とおくと
$\begin{align} \sin\theta'=\dfrac{1}{2}． \end{align}$

$0\leqq{\theta}<2\pi$ より， $-\dfrac{\pi}{3}\leqq{\theta'}<\dfrac{5}{3}\pi$ である．この範囲で $\sin\theta'=\dfrac{1}{2}$ を満たす $\theta'$ は，図より
$\begin{align} \theta'=\dfrac{1}{6}\pi,~\dfrac{5}{6}\pi． \end{align}$
$\theta=\theta'+\dfrac{\pi}{3}$ なので
$\begin{align} \boldsymbol{\theta=\dfrac{1}{2}\pi,~\dfrac{7}{6}\pi}． \end{align}$
三角関数の合成より
$\begin{align} &\sin\theta+\cos\theta<0\\ \Leftrightarrow &\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin\theta+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta\right)<0\\ \Leftrightarrow &\sqrt{2}\sin\left(\theta+\dfrac{1}{4}\pi\right)<0 \end{align}$
$\theta+\dfrac{1}{4}\pi=\theta'$ とおくと
$\begin{align} \sin\theta'<0． \end{align}$

$0\leqq{\theta}<2\pi$ より， $\dfrac{1}{4}\pi\leqq{\theta'}<\dfrac{9}{4}\pi$ なので，この範囲で上の不等式を満たす $\theta'$ は，図の網掛け部分である．すなわち
$\begin{align} \pi<\theta'<2\pi． \end{align}$
$\theta=\theta'-\dfrac{1}{4}\pi$ なので
$\begin{align} \boldsymbol{\dfrac{3}{4}\pi<\theta<\dfrac{7}{4}\pi}． \end{align}$
三角関数の合成より
$\begin{align} y=\sin\theta+\sqrt{3}\cos \theta &=2\left(\dfrac12\sin\theta + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta\right)\\ &=2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right) \end{align}$
$\theta'=\theta+\dfrac{\pi}{3}$ とおくと，
この三角関数は $y = 2\sin\theta'$ ．
$0\leqq\theta<2\theta$ より， $\dfrac{\pi}{3}\leqq \theta' <\dfrac{7}{3}\pi$ なので，
$\theta'=\dfrac{\pi}{2}$ のとき最大値 $2$ , $\theta'=\dfrac{3}{2}\pi$ のとき最小値 $− 2$ ．
$\theta=\theta'-\dfrac{\pi}{3}$ なので
$\theta=\dfrac{\pi}{6}$ のとき，最大値 $2$
$\theta=\dfrac{7}{6}\pi$ のとき，最小値 $-2$

$t＝\sin x+\cos x$ とおく

関数 $f(x)=\sin{x} \cos{x} -\sin{x} -\cos{x}~~(0\leqq x \leqq\pi)$ について以下の問いに答えよ．

$t=\sin{x}+\cos{x}$ とする． $f(x)$ を $t$ の式で表せ．
$t$ のとりうる値を求めよ．
$f(x)$ の最大値・最小値と，それぞれを与える $x$ の値を求めよ．

$t＝\sin x+\cos x$ とおくの解答

$t^2=(\sin{x}+\cos{x})^2=1 +2\sin{x}\cos{x}$ なので
$\begin{align} \sin{x}\cos{x}=\dfrac{t^2 -1}{2} \end{align}$
これを代入すれば
$\begin{align} f(x)&=\dfrac{t^2 -1}{2} -(\sin{x} +\cos{x})\\ &=\boldsymbol{\dfrac{1}{2} t^2 -t - \dfrac{1}{2}} \end{align}$
三角関数の合成より
$\begin{align} t&=\sin{x} +\cos{x}\\ &=\sqrt{2}~\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin{x} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos{x} \right)\\ &=\sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) \end{align}$
$0\leqq x \leqq \pi$ より， $\dfrac{\pi}{4} \leqq x+\dfrac{\pi}{4} \leqq \dfrac{5}{4}\pi$ なので図より $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\leqq\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)\leqq 1$ である．
つまり， $t=\sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$ のとりうる範囲は $\boldsymbol{-1 \leqq t \leqq \sqrt{2}}$ ．
1.,2.より， $f(x)=\dfrac{1}{2} t^2 -t - \dfrac{1}{2} ~~(-1 \leqq t \leqq \sqrt{2})$ である．これを $t$ について平方完成すると
$\begin{align} f(x)=\dfrac{1}{2}(t-1)^2-1 \end{align}$
となる．図より， $f(x)$ は
$t = − 1$ のとき $1$ で最大， $t = 1$ のとき $− 1$ で最小
となる．それぞれのときの $x$ の値を求めると
$\begin{align} t=-1 \Leftrightarrow ~& \sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)=-1\\ \Leftrightarrow ~& \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \Leftrightarrow ~& x + \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{5}{4}\pi ~~~~\Leftrightarrow ~~ x=\pi\\ t=1 \Leftrightarrow ~& \sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)=1\\ \Leftrightarrow ~& \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \Leftrightarrow ~& x + \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4},~\dfrac{3}{4}\pi\\ ~~~~\Leftrightarrow~&~ x=0,~\dfrac{\pi}{2} \end{align}$
以上をまとめて， $f(x)$ は
$x = \pi$ のとき $1$ で最大
$x=0,~\dfrac{\pi}{2}$ のとき $− 1$ で最小

三角関数を含む関数・方程式・不等式について

三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その1〜

三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その1〜の解答

三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その2〜

三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その2〜の解答

三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜

三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜の解答

t＝\sin x+\cos xt＝\sin x+\cos xとおく

t＝\sin x+\cos xt＝\sin x+\cos x とおくの解答

$t＝\sin x+\cos x$ とおく

$t＝\sin x+\cos x$ とおくの解答