三角関数を含む関数・方程式・不等式について

三角関数を含む関数・方程式・不等式について

三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その1〜

  1. 関数$y=\cos^2 \theta -2\sin\theta +1~~(0\leqq \theta <2\pi)$の最大値・最小値を求めよ．
  2. $0\leqq \theta <2\pi$のとき，方程式$\sin^2 \theta =\cos \theta+1$を解きなさい．
  3. $0\leqq \theta <2\pi$のとき，不等式$2\cos^2 \theta +\sin \theta >2$を解きなさい．

  1. \begin{align} y&=\cos^2\theta-2\sin\theta+1\\ &=(1-\sin^2\theta)-2\sin\theta+1 \end{align}

    ←拡張された三角関数の相互関係を用いて$\sin\theta$にそろえた

    $\sin\theta = t$とおく．$0\leqq{\theta}<2\pi$より$-1\leqq{t}\leqq{1}$なので

    \begin{align} y&=-t^2-2t+2\\ &=-(t+1)^2+3~~(-1\leqq t \leqq 1) \end{align}

    ←$t$についての2次関数の最大・最小の問題になった

    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その1〜の解答の図その１

    図より，$y$は

    $t = − 1$のとき最大値$3$,$t = 1$のとき最小値 $− 1$

    をとる．$t =\sin\theta$なので








    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その1〜の解答の図その２

    $\theta=\dfrac{3}{2}\pi$のとき最大値$3$

    $\theta=\dfrac{\pi}{2}$のとき最小値$-1$

  2. \begin{align} &\sin^2\theta=\cos\theta+1\\ \Leftrightarrow~&1-\cos^2\theta=\cos\theta+1\\ \Leftrightarrow~&\cos^2\theta+\cos\theta=0\\ \Leftrightarrow~&\cos\theta(\cos\theta+1)=0\\ \Leftrightarrow~&\cos\theta=0,~-1 \end{align}



    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その1〜の解答の図その３

    $0\leqq{\theta}<2\pi$の範囲で$\cos\theta=0,~-1$を満たす$\theta$は，図より$\boldsymbol{\theta=\dfrac{\pi}{2},~\pi,~\dfrac{3}{2}\pi}$．

  3. \[2\cos^2\theta+\sin\theta>2\] \[\Leftrightarrow~2(1-\sin^2\theta)+\sin\theta>2\]

    ←拡張された三角関数の相互関係を用いて$\cos\theta$にそろえた．

    \[\Leftrightarrow~-2\sin^2\theta+\sin\theta>0\] \[\Leftrightarrow~\sin\theta(2\sin\theta-1)<0\]

    ←$\sin^2\theta$の係数を正にするため，両辺を$ − 1$で割ってから因数分解した

    \[\Leftrightarrow~0<\sin\theta<\dfrac{1}{2}\]
    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その1〜の解答の図その４

    $0\leqq{\theta}<2\pi$の範囲で上の不等式を満たす$\theta$の範囲は，図の太線部分である．すなわち

    \begin{align} \boldsymbol{0<\sin\theta<\dfrac{\pi}{6},~\dfrac{5}{6}\pi<\theta<\pi} \end{align}

三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その2〜

  1. 関数$y=-\cos 2\theta -2\sin\theta ~~(0\leqq \theta <2\pi)$の最大値・最小値を求めよ．
  2. $0\leqq \theta <2\pi$のとき，方程式$\sin 2\theta =\cos \theta$を解きなさい．
  3. $0\leqq \theta <2\pi$のとき，方程式$\tan^2 \dfrac{\theta}{2} =1-\cos \theta$を解きなさい．
  4. $0\leqq \theta <2\pi$のとき，不等式$\cos 2\theta -\cos \theta \geqq 0$を解きなさい．
  5. $0\leqq \theta <2\pi$のとき，不等式$\cos^2 \dfrac{\theta}{2} \geqq\cos \theta+1$を解きなさい．

  1. \begin{align} y=&=-\cos2\theta-2\sin\theta\\ &=-(1-2\sin^2\theta)-2\sin\theta \end{align}

    ←2倍角の公式を用いて$\sin\theta$にそろえた．

    $\sin\theta=t$とおく．$0\leqq{\theta}<2\pi$より$-1\leqq{t}\leqq{1}$なので

    \begin{align} y&=2t^2-2t-1\\ &=2\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{3}{2} \end{align}
    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その2〜の解答の図その１

    図より，$y$は

    $t = − 1$のとき最大値$3$,$t=\dfrac{1}{2}$のとき最小値$-\dfrac{2}{3}$

    をとる．$t = \sin\theta$なので






    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その2〜の解答の図その２

    $\theta=\dfrac{3}{2}\pi$のとき最大値$3$

    $\theta=\dfrac{\pi}{6},~\dfrac{5}{6}\pi$のとき最小値$-\dfrac{2}{3}$

  2. \begin{align} &\sin2\theta=\cos\theta\\ \Leftrightarrow~&2\sin\theta\cos\theta=\cos\theta\\ \Leftrightarrow~&\cos\theta(2\sin\theta-1)=0\\ \Leftrightarrow~&\cos\theta=0,~\sin\theta=\dfrac{1}{2} \end{align}

    ←2倍角の公式を用いて共通因数を作った．

    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その2〜の解答の図その３

    $0\leqq{\theta}<2\pi$の範囲で$\cos\theta=0$,$~\sin\theta=\dfrac{1}{2}$を満たす$\theta$は，図より

    \begin{align} \boldsymbol{\theta=\dfrac{\pi}{6},~\dfrac{\pi}{2},~\dfrac{5}{6}\pi,~\dfrac{3}{2}\pi}． \end{align}

  3. \begin{align} &\tan^2\dfrac{\theta}{2}=1-\cos\theta\\ \Leftrightarrow~ &\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}=1-\cos\theta\\ \Leftrightarrow~ &1-\cos\theta=(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)\\ \Leftrightarrow~ &\cos^2\theta-\cos\theta=0\\ \Leftrightarrow~ &\cos\theta(\cos\theta-1)=0\\ \Leftrightarrow~ &\cos\theta=0,~\cos\theta=1 \end{align}

    ←半角の公式を用いて$\cos\theta$にそろえた．

    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その2〜の解答の図その４

    $0\leqq{\theta}<2\pi$の範囲で$\cos\theta=0$,$~\cos\theta=1$を満たす$\theta$は，図より

    \begin{align} \boldsymbol{\theta=0,~\dfrac{\pi}{2},~\dfrac{3}{2}\pi}． \end{align}

  4. \begin{align} &\cos2\theta-\cos\theta\geqq{0} \\ &\Leftrightarrow (2\cos^2\theta-1)-\cos\theta\geqq{0}\\ &\Leftrightarrow (2\cos\theta+1)(\cos\theta-1)\geqq{0}\\ &\Leftrightarrow \cos\theta\leqq{-\dfrac{1}{2}},~1\leqq{\cos\theta} \end{align}

    ←2倍角の公式を用いて$\cos\theta$でそろえた

    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その2〜の解答の図その５

    $0\leqq{\theta}<2\pi$の範囲で上の不等式を満たす$\theta$の範囲は，図の網掛け部分である．すなわち

    \begin{align} \boldsymbol{\theta=0,~\dfrac{2}{3}\pi\leqq{\theta}\leqq{\dfrac{4}{3}\pi}} \end{align}

  5. \begin{align} &\cos^2\dfrac{\theta}{2}\geqq\cos\theta+1 \\ &\Leftrightarrow \dfrac{1+\cos\theta}{2}\geqq\cos\theta+1\\ &\Leftrightarrow 1+\cos\theta\geqq2\cos\theta+2\\ &\Leftrightarrow \cos\theta\leqq-1 \end{align}

    ←半角の公式を用いて$\cos\theta$でそろえた

    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その2〜の解答の図その１

    $0\leqq{\theta}<2\pi$の範囲で上の不等式を満たす$\theta$の範囲は，図の太線部分である．すなわち

    \begin{align} \boldsymbol{\theta=\pi}． \end{align}

三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜

  1. $0\leqq \theta <2\pi$のとき，方程式$\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta =1$を解きなさい．
  2. $0\leqq \theta <2\pi$のとき，不等式$\sin\theta +\cos\theta <0$を解きなさい．
  3. 関数$y=\sin\theta +\sqrt{3}\cos \theta~~(0\leqq \theta <2\pi)$の最大値・最小値を求めよ．

  1. 三角関数の合成より

    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜の解答の図その１
    \begin{align} &\sin\theta-\sqrt{3}\cos\theta=1\\ \Leftrightarrow &2\left\{\dfrac{1}{2}\sin\theta +\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\cos\theta\right\}=1\\ \Leftrightarrow &2\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)=1 \end{align}

    $\theta-\dfrac{\pi}{3}=\theta'$とおくと

    \begin{align} \sin\theta'=\dfrac{1}{2}． \end{align}




    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜の解答の図その２

    $0\leqq{\theta}<2\pi$より，$-\dfrac{\pi}{3}\leqq{\theta'}<\dfrac{5}{3}\pi$である． この範囲で$\sin\theta'=\dfrac{1}{2}$を満たす$\theta'$は，図より

    \begin{align} \theta'=\dfrac{1}{6}\pi,~\dfrac{5}{6}\pi． \end{align}

    $\theta=\theta'+\dfrac{\pi}{3}$なので

    \begin{align} \boldsymbol{\theta=\dfrac{1}{2}\pi,~\dfrac{7}{6}\pi}． \end{align}

  2. 三角関数の合成より

    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜の解答の図その３
    \begin{align} &\sin\theta+\cos\theta<0\\ \Leftrightarrow &\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin\theta+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta\right)<0\\ \Leftrightarrow &\sqrt{2}\sin\left(\theta+\dfrac{1}{4}\pi\right)<0 \end{align}

    $\theta+\dfrac{1}{4}\pi=\theta'$とおくと

    \begin{align} \sin\theta'<0． \end{align}


    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜の解答の図その４

    $0\leqq{\theta}<2\pi$より，$ \dfrac{1}{4}\pi\leqq{\theta'}<\dfrac{9}{4}\pi$なので，この範囲で上の不等式を満たす$\theta'$は， 図の網掛け部分である．すなわち

    \begin{align} \pi<\theta'<2\pi． \end{align}

    $\theta=\theta'-\dfrac{1}{4}\pi$なので

    \begin{align} \boldsymbol{\dfrac{3}{4}\pi<\theta<\dfrac{7}{4}\pi}． \end{align}

  3. 三角関数の合成より

    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜の解答の図その５
    \begin{align} y=\sin\theta+\sqrt{3}\cos \theta &=2\left(\dfrac12\sin\theta + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta\right)\\ &=2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right) \end{align}

    $\theta'=\theta+\dfrac{\pi}{3}$とおくと，

    この三角関数は$y = 2\sin\theta'$．

    $0\leqq\theta<2\theta$より，$\dfrac{\pi}{3}\leqq \theta' <\dfrac{7}{3}\pi$なので，

    $\theta'=\dfrac{\pi}{2}$のとき最大値$2$,$\theta'=\dfrac{3}{2}\pi$のとき最小値 $− 2$．

    $\theta=\theta'-\dfrac{\pi}{3}$なので

    $\theta=\dfrac{\pi}{6}$のとき，最大値$2$

    $\theta=\dfrac{7}{6}\pi$のとき，最小値$-2$

$t＝\sin x+\cos x$とおく

関数$f(x)=\sin{x} \cos{x} -\sin{x} -\cos{x}~~(0\leqq x \leqq\pi)$について以下の問いに答えよ．

  1. $t=\sin{x}+\cos{x}$とする．$f(x)$を$t$の式で表せ．
  2. $t$のとりうる値を求めよ．
  3. $f(x)$の最大値・最小値と，それぞれを与える$x$の値を求めよ．

  1. $t^2=(\sin{x}+\cos{x})^2=1 +2\sin{x}\cos{x}$なので

    \begin{align} \sin{x}\cos{x}=\dfrac{t^2 -1}{2} \end{align}

    これを代入すれば

    \begin{align} f(x)&=\dfrac{t^2 -1}{2} -(\sin{x} +\cos{x})\\ &=\boldsymbol{\dfrac{1}{2} t^2 -t - \dfrac{1}{2}} \end{align}

  2. 三角関数の合成より

    tsinx+cosx とおくの解答の図その１
    \begin{align} t&=\sin{x} +\cos{x}\\ &=\sqrt{2}~\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin{x} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos{x} \right)\\ &=\sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) \end{align}
    tsinx+cosx とおくの解答の図その２

    $0\leqq x \leqq \pi$より，$\dfrac{\pi}{4} \leqq x+\dfrac{\pi}{4} \leqq \dfrac{5}{4}\pi$なので 図より$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\leqq\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)\leqq 1$である．

    つまり，$t=\sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$のとりうる範囲は $\boldsymbol{-1 \leqq t \leqq \sqrt{2}}$．

  3. 1.,2.より，$f(x)=\dfrac{1}{2} t^2 -t - \dfrac{1}{2} ~~(-1 \leqq t \leqq \sqrt{2})$ である．これを$t$について平方完成すると

    \begin{align} f(x)=\dfrac{1}{2}(t-1)^2-1 \end{align}
    tsinx+cosx とおくの解答の図その３

    となる．図より，$f(x)$は

    $t = − 1$のとき$1$で最大，$t = 1$のとき $− 1$で最小

    となる．それぞれのときの$x$の値を求めると

    \begin{align} t=-1 \Leftrightarrow ~& \sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)=-1\\ \Leftrightarrow ~& \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \Leftrightarrow ~& x + \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{5}{4}\pi ~~~~\Leftrightarrow ~~ x=\pi\\ t=1 \Leftrightarrow ~& \sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)=1\\ \Leftrightarrow ~& \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \Leftrightarrow ~& x + \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4},~\dfrac{3}{4}\pi\\ ~~~~\Leftrightarrow~&~ x=0,~\dfrac{\pi}{2} \end{align}

    以上をまとめて，$f(x)$は

    $x = \pi$のとき$1$で最大

    $x=0,~\dfrac{\pi}{2}$のとき $− 1$で最小