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三角関数を含む関数・方程式・不等式について

三角関数を含む関数・方程式・不等式について

三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その1〜

  1. 関数y=cos2θ2sinθ+1  (0θ<2π)の最大値・最小値を求めよ.
  2. 0θ<2πのとき,方程式sin2θ=cosθ+1を解きなさい.
  3. 0θ<2πのとき,不等式2cos2θ+sinθ>2を解きなさい.

  1. y=cos2θ2sinθ+1=(1sin2θ)2sinθ+1

    拡張された三角関数の相互関係を用いてsinθにそろえた

    sinθ=tとおく.0θ<2πより1t1なので

    y=t22t+2=(t+1)2+3  (1t1)

    tについての2次関数の最大・最小の問題になった

    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その1〜の解答の図その1

    図より,y

    t=1のとき最大値3,t=1のとき最小値 1

    をとる.t=sinθなので








    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その1〜の解答の図その2

    θ=32πのとき最大値3

    θ=π2のとき最小値1

  2. sin2θ=cosθ+1 1cos2θ=cosθ+1 cos2θ+cosθ=0 cosθ(cosθ+1)=0 cosθ=0, 1



    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その1〜の解答の図その3

    0θ<2πの範囲でcosθ=0, 1を満たすθは,図より\boldsymbol{\theta=\dfrac{\pi}{2},~\pi,~\dfrac{3}{2}\pi}

  3. 2\cos^2\theta+\sin\theta>2 \Leftrightarrow~2(1-\sin^2\theta)+\sin\theta>2

    拡張された三角関数の相互関係を用いて\cos\thetaにそろえた.

    \Leftrightarrow~-2\sin^2\theta+\sin\theta>0 \Leftrightarrow~\sin\theta(2\sin\theta-1)<0

    \sin^2\thetaの係数を正にするため,両辺を − 1で割ってから因数分解した

    \Leftrightarrow~0<\sin\theta<\dfrac{1}{2}
    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その1〜の解答の図その4

    0\leqq{\theta}<2\piの範囲で上の不等式を満たす\thetaの範囲は,図の太線部分である.すなわち

    \begin{align} \boldsymbol{0<\sin\theta<\dfrac{\pi}{6},~\dfrac{5}{6}\pi<\theta<\pi} \end{align}

三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その2〜

  1. 関数y=-\cos 2\theta -2\sin\theta ~~(0\leqq \theta <2\pi)の最大値・最小値を求めよ.
  2. 0\leqq \theta <2\piのとき,方程式\sin 2\theta =\cos \thetaを解きなさい.
  3. 0\leqq \theta <2\piのとき,方程式\tan^2 \dfrac{\theta}{2} =1-\cos \thetaを解きなさい.
  4. 0\leqq \theta <2\piのとき,不等式\cos 2\theta -\cos \theta \geqq 0を解きなさい.
  5. 0\leqq \theta <2\piのとき,不等式\cos^2 \dfrac{\theta}{2} \geqq\cos \theta+1を解きなさい.

  1. \begin{align} y=&=-\cos2\theta-2\sin\theta\\ &=-(1-2\sin^2\theta)-2\sin\theta \end{align}

    2倍角の公式を用いて\sin\thetaにそろえた.

    \sin\theta=tとおく.0\leqq{\theta}<2\piより-1\leqq{t}\leqq{1}なので

    \begin{align} y&=2t^2-2t-1\\ &=2\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{3}{2} \end{align}
    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その2〜の解答の図その1

    図より,y

    t = − 1のとき最大値3,t=\dfrac{1}{2}のとき最小値-\dfrac{2}{3}

    をとる.t = \sin\thetaなので






    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その2〜の解答の図その2

    \theta=\dfrac{3}{2}\piのとき最大値3

    \theta=\dfrac{\pi}{6},~\dfrac{5}{6}\piのとき最小値-\dfrac{2}{3}

  2. \begin{align} &\sin2\theta=\cos\theta\\ \Leftrightarrow~&2\sin\theta\cos\theta=\cos\theta\\ \Leftrightarrow~&\cos\theta(2\sin\theta-1)=0\\ \Leftrightarrow~&\cos\theta=0,~\sin\theta=\dfrac{1}{2} \end{align}

    2倍角の公式を用いて共通因数を作った.

    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その2〜の解答の図その3

    0\leqq{\theta}<2\piの範囲で\cos\theta=0,~\sin\theta=\dfrac{1}{2}を満たす\thetaは,図より

    \begin{align} \boldsymbol{\theta=\dfrac{\pi}{6},~\dfrac{\pi}{2},~\dfrac{5}{6}\pi,~\dfrac{3}{2}\pi}. \end{align}
  3. \begin{align} &\tan^2\dfrac{\theta}{2}=1-\cos\theta\\ \Leftrightarrow~ &\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}=1-\cos\theta\\ \Leftrightarrow~ &1-\cos\theta=(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)\\ \Leftrightarrow~ &\cos^2\theta-\cos\theta=0\\ \Leftrightarrow~ &\cos\theta(\cos\theta-1)=0\\ \Leftrightarrow~ &\cos\theta=0,~\cos\theta=1 \end{align}

    半角の公式を用いて\cos\thetaにそろえた.

    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その2〜の解答の図その4

    0\leqq{\theta}<2\piの範囲で\cos\theta=0,~\cos\theta=1を満たす\thetaは,図より

    \begin{align} \boldsymbol{\theta=0,~\dfrac{\pi}{2},~\dfrac{3}{2}\pi}. \end{align}
  4. \begin{align} &\cos2\theta-\cos\theta\geqq{0} \\ &\Leftrightarrow (2\cos^2\theta-1)-\cos\theta\geqq{0}\\ &\Leftrightarrow (2\cos\theta+1)(\cos\theta-1)\geqq{0}\\ &\Leftrightarrow \cos\theta\leqq{-\dfrac{1}{2}},~1\leqq{\cos\theta} \end{align}

    2倍角の公式を用いて\cos\thetaでそろえた

    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その2〜の解答の図その5

    0\leqq{\theta}<2\piの範囲で上の不等式を満たす\thetaの範囲は,図の網掛け部分である.すなわち

    \begin{align} \boldsymbol{\theta=0,~\dfrac{2}{3}\pi\leqq{\theta}\leqq{\dfrac{4}{3}\pi}} \end{align}
  5. \begin{align} &\cos^2\dfrac{\theta}{2}\geqq\cos\theta+1 \\ &\Leftrightarrow \dfrac{1+\cos\theta}{2}\geqq\cos\theta+1\\ &\Leftrightarrow 1+\cos\theta\geqq2\cos\theta+2\\ &\Leftrightarrow \cos\theta\leqq-1 \end{align}

    半角の公式を用いて\cos\thetaでそろえた

    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その2〜の解答の図その1

    0\leqq{\theta}<2\piの範囲で上の不等式を満たす\thetaの範囲は,図の太線部分である.すなわち

    \begin{align} \boldsymbol{\theta=\pi}. \end{align}

三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜

  1. 0\leqq \theta <2\piのとき,方程式\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta =1を解きなさい.
  2. 0\leqq \theta <2\piのとき,不等式\sin\theta +\cos\theta <0を解きなさい.
  3. 関数y=\sin\theta +\sqrt{3}\cos \theta~~(0\leqq \theta <2\pi)の最大値・最小値を求めよ.

  1. 三角関数の合成より

    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜の解答の図その1
    \begin{align} &\sin\theta-\sqrt{3}\cos\theta=1\\ \Leftrightarrow &2\left\{\dfrac{1}{2}\sin\theta +\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\cos\theta\right\}=1\\ \Leftrightarrow &2\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)=1 \end{align}

    \theta-\dfrac{\pi}{3}=\theta'とおくと

    \begin{align} \sin\theta'=\dfrac{1}{2}. \end{align}




    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜の解答の図その2

    0\leqq{\theta}<2\piより,-\dfrac{\pi}{3}\leqq{\theta'}<\dfrac{5}{3}\piである. この範囲で\sin\theta'=\dfrac{1}{2}を満たす\theta'は,図より

    \begin{align} \theta'=\dfrac{1}{6}\pi,~\dfrac{5}{6}\pi. \end{align}

    \theta=\theta'+\dfrac{\pi}{3}なので

    \begin{align} \boldsymbol{\theta=\dfrac{1}{2}\pi,~\dfrac{7}{6}\pi}. \end{align}
  2. 三角関数の合成より

    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜の解答の図その3
    \begin{align} &\sin\theta+\cos\theta<0\\ \Leftrightarrow &\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin\theta+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta\right)<0\\ \Leftrightarrow &\sqrt{2}\sin\left(\theta+\dfrac{1}{4}\pi\right)<0 \end{align}

    \theta+\dfrac{1}{4}\pi=\theta'とおくと

    \begin{align} \sin\theta'<0. \end{align}


    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜の解答の図その4

    0\leqq{\theta}<2\piより, \dfrac{1}{4}\pi\leqq{\theta'}<\dfrac{9}{4}\piなので,この範囲で上の不等式を満たす\theta'は, 図の網掛け部分である.すなわち

    \begin{align} \pi<\theta'<2\pi. \end{align}

    \theta=\theta'-\dfrac{1}{4}\piなので

    \begin{align} \boldsymbol{\dfrac{3}{4}\pi<\theta<\dfrac{7}{4}\pi}. \end{align}
  3. 三角関数の合成より

    三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜の解答の図その5
    \begin{align} y=\sin\theta+\sqrt{3}\cos \theta &=2\left(\dfrac12\sin\theta + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta\right)\\ &=2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right) \end{align}

    \theta'=\theta+\dfrac{\pi}{3}とおくと,

    この三角関数はy = 2\sin\theta'

    0\leqq\theta<2\thetaより,\dfrac{\pi}{3}\leqq \theta' <\dfrac{7}{3}\piなので,

    \theta'=\dfrac{\pi}{2}のとき最大値2,\theta'=\dfrac{3}{2}\piのとき最小値 − 2

    \theta=\theta'-\dfrac{\pi}{3}なので

    \theta=\dfrac{\pi}{6}のとき,最大値2

    \theta=\dfrac{7}{6}\piのとき,最小値-2

t=\sin x+\cos xとおく

関数f(x)=\sin{x} \cos{x} -\sin{x} -\cos{x}~~(0\leqq x \leqq\pi)について以下の問いに答えよ.

  1. t=\sin{x}+\cos{x}とする.f(x)tの式で表せ.
  2. tのとりうる値を求めよ.
  3. f(x)の最大値・最小値と,それぞれを与えるxの値を求めよ.

  1. t^2=(\sin{x}+\cos{x})^2=1 +2\sin{x}\cos{x}なので

    \begin{align} \sin{x}\cos{x}=\dfrac{t^2 -1}{2} \end{align}

    これを代入すれば

    \begin{align} f(x)&=\dfrac{t^2 -1}{2} -(\sin{x} +\cos{x})\\ &=\boldsymbol{\dfrac{1}{2} t^2 -t - \dfrac{1}{2}} \end{align}
  2. 三角関数の合成より

    tsinx+cosx とおくの解答の図その1
    \begin{align} t&=\sin{x} +\cos{x}\\ &=\sqrt{2}~\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin{x} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos{x} \right)\\ &=\sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) \end{align}
    tsinx+cosx とおくの解答の図その2

    0\leqq x \leqq \piより,\dfrac{\pi}{4} \leqq x+\dfrac{\pi}{4} \leqq \dfrac{5}{4}\piなので 図より-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\leqq\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)\leqq 1である.

    つまり,t=\sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)のとりうる範囲は \boldsymbol{-1 \leqq t \leqq \sqrt{2}}

  3. 1.,2.より,f(x)=\dfrac{1}{2} t^2 -t - \dfrac{1}{2} ~~(-1 \leqq t \leqq \sqrt{2}) である.これをtについて平方完成すると

    \begin{align} f(x)=\dfrac{1}{2}(t-1)^2-1 \end{align}
    tsinx+cosx とおくの解答の図その3

    となる.図より,f(x)

    t = − 1のとき1で最大,t = 1のとき − 1で最小

    となる.それぞれのときのxの値を求めると

    \begin{align} t=-1 \Leftrightarrow ~& \sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)=-1\\ \Leftrightarrow ~& \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \Leftrightarrow ~& x + \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{5}{4}\pi ~~~~\Leftrightarrow ~~ x=\pi\\ t=1 \Leftrightarrow ~& \sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)=1\\ \Leftrightarrow ~& \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \Leftrightarrow ~& x + \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4},~\dfrac{3}{4}\pi\\ ~~~~\Leftrightarrow~&~ x=0,~\dfrac{\pi}{2} \end{align}

    以上をまとめて,f(x)

    x = \piのとき1で最大

    x=0,~\dfrac{\pi}{2}のとき − 1で最小