正接の加法定理

正接の加法定理

正弦と余弦の加法定理から，次のような正接の加法定理を導くことができる．

\begin{align} \tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \end{align} $\tag{2}\label{seisetunokahouteiri1}$

【証明】

\begin{align} &\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}\\ &=\dfrac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}\\ &=\dfrac{\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}}{1-\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}} \end{align}

←分母と分子を$\cos\alpha\cos\beta$で割った

\[=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\]

暗記正接の加法定理の導出

上の$\eqref{seisetunokahouteiri1}$を利用して，次の等式を証明せよ．

\begin{align} \tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} \end{align}

$\eqref{seisetunokahouteiri1}$の$\beta$を$ − \beta$におきかえると

\begin{align} &\tan\{\alpha+(-\beta)\}=\dfrac{\tan\alpha+\tan(-\beta)}{1-\tan\alpha\tan(-\beta)}\\ \Leftrightarrow~&\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} \end{align}

←$-\theta$ の三角比

正接の加法定理

\begin{align} &\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\\ &\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} \end{align}

正接の加法定理

$0<\alpha<\dfrac{\pi}{2},~~0<\beta<\dfrac{\pi}{2}$で，$\tan\alpha=5,~\tan\beta=\dfrac{3}{2}$のとき，次の問いに答えよ．

  1. $\tan(\alpha+\beta),~\tan(\alpha-\beta)$の値を求めよ．
  2. $\alpha+\beta$の値を求めよ．

  1. 正接の加法定理より

    \begin{align} \tan(\alpha+\beta)&=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\\ &=\dfrac{5+\dfrac{3}{2}}{1-5\cdot\dfrac{3}{2}}=\boldsymbol{-1}\\ \tan(\alpha-\beta)&=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\\ &=\dfrac{5-\dfrac{3}{2}}{1+5\cdot\dfrac{3}{2}}=\boldsymbol{\dfrac{7}{17}} \end{align}

  2. $0<\alpha+\beta<\pi$および，$\tan(\alpha+\beta)=-1$より，$\alpha+\beta=\boldsymbol{\dfrac{3}{4}\pi}$である．