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与えられた3点を通る円の方程式

無題

無題

どんな三角形も，外接円はただ1つに定まった． これは，(同一直線上にない)3点を通る円周がただ1つに定まることを意味する．

円の方程式〜その2〜

  1. A(3, 0),B(0,−2),C(−2, 1)の3点を通る円の方程式を求めよ．

  2. A(3, 1),B(4,−4),C(−1,−5)とする．△ABCの外接円の中心と半径を求めよ．

  1. 求める円の方程式をx2+y2+lx+my+n=0とおく．

    Aを通ることから

    32+02+l⋅3+m⋅0+n=0

    Bを通ることから

    02+(−2)2+l⋅0+m⋅(−2)+n=0

    Cを通ることから

    (−2)2+12+l⋅(−2)+m⋅1+n=0

    である．これらを整頓して，連立方程式を得る．

    { 3l+n=−9−2m+n=−4−2l+m+n=−5

    上の式から順に,,とする

    ←(2)+2×(3)より

    −2m+n=−4+)−4l+2m+2n=−10−4l+3n=−14

    3×(1)−(2')より −13l=13となってl=−1． (2),(1)からm, nを求めればよい

    これを解いて (l, m, n)=(−1,−1,−6)． よって，求める方程式はx2+y2−x−y−6=0である．

  2. △ABCの外接円は3点A，B，Cを通る円に一致する． その方程式をx2+y2+lx+my+n=0とおく．

    Aを通ることから

    32+12+l⋅3+m⋅1+n=0

    Bを通ることから

    42+(−4)2+l⋅4+m⋅(−4)+n=0

    Cを通ることから

    (−1)2+(−5)2+l⋅(−1)+m⋅(−5)+n
    =0

    である．これらを整頓して，連立方程式を得る．

    {3l+m+n=−104l−4m+n=−32−l−5m+n=−26

    上の式から順に,,とする

    ←(4)−(5)より

    3l+m+n=−10−)4l−4m+n=−32−l+5m=22

    (5)−(6)より

    4l−4m+n=−32−)−l−5m+n=−265l+m=−6

    (4’)と(5’)を連立して(l, m)=(−2, 4)．(4)からn=−8．

    これを解いて (l, m, n)=(−2, 4,−8)．よって，△ABCの外接円の方程式は

    x2+y2−2x+4y−8=0．

    平方完成型に変形すると (x−1)2+(y+2)2=13 となり，

    ←中心と半径を求めるため平方完成型に変形

    △ABCの外接円の中心は(1,−2)，半径は√13である．

    【2.の別解（略解）】

    ←もちろん1.も同じようにして解くことができる．

    外接円の中心をO(x, y)とすると，OA=OB=OCであるので

    {√(x−3)2+(y−1)2=√(x−4)2+(y+4)2√(x−3)2+(y−1)2=√(x+1)2+(y+5)2

    これを解いて(x, y)=(1,−2)，外接円の半径は OA=√22+(−3)2=√13．