3次方程式の解と係数の関係

$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ とし，3次方程式 $f(x) = 0$ を考える． $f(x) = 0$ の3解を $\alpha，\beta，\gamma$ とすると， $f(\alpha) = 0，f(\beta) = 0，f(\gamma) = 0$ なので， $f (x)$ は $x − \alpha，x − \beta$ および $x − \gamma$ を因数にもつのがわかるので

$\begin{align} &\left(f(x)=\right)x^3+ax^2+bx+c\\ &\qquad=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) \end{align}$

とおける．

$(x − \alpha)(x − \beta)(x − \gamma)$ を展開すると $x^3 − (\alpha + \beta + \gamma)x + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x − \alpha\beta\gamma$ であり

$\begin{align} &x^3+ax^2+bx+c\\ =&x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x\\ +&(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma \end{align}$

これらは多項式として等しいので，両辺の係数を比較して

$\begin{align} &\begin{cases} a=-(\alpha+\beta+\gamma)\\ b=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha\\ c=-\alpha\beta\gamma \end{cases}\\ \Longleftrightarrow~& \begin{cases} \alpha+\beta+\gamma=-a\\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=b\\ \alpha\beta\gamma=-c \end{cases} \end{align}$

が成り立つ．

3次方程式の解と係数の関係

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ の3解を $\alpha，\beta，\gamma$ とすると

$\begin{align} \begin{cases} \alpha+\beta+\gamma=-a\\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=b\\ \alpha\beta\gamma=-c \end{cases} \end{align}$

が成り立つ．

吹き出し3次方程式の解と係数の関係

2次方程式の場合と同様に， $x^3$ の係数が1でないときでも，その値で方程式全体を割ることにより， $x^3$ の係数が1である方程式に変え考えることができる．

$\begin{align} &ax^3+bx^2+cx+d=0\\ ~\Leftrightarrow~&x^3+\dfrac{b}{a}x^2+\dfrac{c}{a}x+\dfrac{d}{a}=0 \end{align}$

これより， $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ の3解を $\alpha，\beta，\gamma$ とすると

$\begin{align} \begin{cases} \alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{b}{a}\\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{c}{a}\\ \alpha\beta\gamma=-\dfrac{d}{a} \end{cases} \end{align}$

とわかる．

2次方程式と3次方程式に限らず，解と係数の関係は一般の $n$ 次方程式まで成立する．

3次方程式の解と係数の関係

次の3次方程式の3解を $\alpha，\beta，\gamma$ とする． $\alpha + \beta + \gamma，\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha$ および $\alpha\beta\gamma$ の値を求めよ．

$x^3-5x^2+7x-1=0$
$3x^3+8x^2-6x+5=0$

3次方程式の解と係数の関係の解答

3次方程式の解と係数の関係から
$\begin{align} &\alpha+\beta+\gamma=\boldsymbol{5}\\ &\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\boldsymbol{7}\\ &\alpha\beta\gamma=\boldsymbol{1} \end{align}$
式全体を $3$ で割り， $x^3+\dfrac{8}{3}x^2-2x+\dfrac{5}{3}=0$ ．3次方程式の解と係数の関係から
$\begin{align} &\alpha+\beta+\gamma=\boldsymbol{-\dfrac{8}{3}}\\ &\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\boldsymbol{-2}\\ &\alpha\beta\gamma=\boldsymbol{-\dfrac{5}{3}} \end{align}$

3次方程式の解と係数の関係の利用

3次方程式 $x^3 − 3x + 5 = 0$ の3解を $\alpha，\beta，\gamma$ とするとき，次の式の値を求めよ．

$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$
$(\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)$
$\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma}$
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3$

3次方程式の解と係数の関係の利用の解答

3次方程式の解と係数の関係より

$\begin{align} &\alpha+\beta+\gamma=0,\\ &\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-3,\\ &\alpha\beta\gamma=-5 \end{align}$

$\tag{1}\label{3zihouteisikinokaitokeisuunokankeinoriyou}$

である．

$\begin{align} &\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\\ &=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\\ &=0^2-2\cdot(-3)\\ &=\boldsymbol{6} \end{align}$ 　　　　　 $\blacktriangleleft\eqref{3zihouteisikinokaitokeisuunokankeinoriyou}$ を使った
$\begin{align} &(\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)\\ &=\alpha\beta\gamma+\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha+\alpha+\beta+\gamma+1\\ &=-5-3+0+1\\ &=\boldsymbol{-7} \end{align}$ 　　　　　 $\blacktriangleleft\eqref{3zihouteisikinokaitokeisuunokankeinoriyou}$ を使った
【別解】
$x^3 − 3x + 5 = (x − \alpha)(x − \beta)(x − \gamma)$ の両辺に $x = − 1$ を代入すると
$\begin{align} &7=(-1-\alpha)(-1-\beta)(-1-\gamma)\\ \Leftrightarrow~&(\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)=\boldsymbol{-7} \end{align}$
$\begin{align} &\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma}\\ &=\dfrac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}\\ &=\dfrac{-3}{-5}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{3}{5}} \end{align}$ 　　　　　 $\blacktriangleleft\eqref{3zihouteisikinokaitokeisuunokankeinoriyou}$ を使った
$\begin{align} &\alpha^3+\beta^3+\gamma^3\\ =&(\alpha+\beta+\gamma)\left\{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\right. \\ &\Bigl. -(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\Bigr\}+3\alpha\beta\gamma\\ =&0\cdot\left\{6-(-3)\right\}+3\cdot(-5)\\ =&\boldsymbol{-15} \end{align}$ $\blacktriangleleft$ 1.と $\eqref{3zihouteisikinokaitokeisuunokankeinoriyou}$ を使った