3次方程式の解と係数の関係
$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$とし，3次方程式$f(x) = 0$を考える． $f(x) = 0$の3解を$\alpha，\beta，\gamma$とすると，$f(\alpha) = 0，f(\beta) = 0，f(\gamma) = 0$なので，$ f (x)$は$x − \alpha，x − \beta$および$x − \gamma$を因数にもつのがわかるので
\begin{align} &\left(f(x)=\right)x^3+ax^2+bx+c\\ &\qquad=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) \end{align}とおける．
$(x − \alpha)(x − \beta)(x − \gamma)$を展開すると$x^3 − (\alpha + \beta + \gamma)x + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x − \alpha\beta\gamma$であり
\begin{align} &x^3+ax^2+bx+c\\ =&x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x\\ +&(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma \end{align}これらは多項式として等しいので，両辺の係数を比較して
\begin{align} &\begin{cases} a=-(\alpha+\beta+\gamma)\\ b=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha\\ c=-\alpha\beta\gamma \end{cases}\\ \Longleftrightarrow~& \begin{cases} \alpha+\beta+\gamma=-a\\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=b\\ \alpha\beta\gamma=-c \end{cases} \end{align}が成り立つ．
3次方程式の解と係数の関係
3次方程式$x^3 + ax^2 + bx + c = 0$の3解を$\alpha，\beta，\gamma$とすると
\begin{align} \begin{cases} \alpha+\beta+\gamma=-a\\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=b\\ \alpha\beta\gamma=-c \end{cases} \end{align}が成り立つ．
吹き出し3次方程式の解と係数の関係
2次方程式の場合と同様に，$x^3$の係数が1でないときでも，その値で方程式全体を割ることにより， $x^3$の係数が1である方程式に変え考えることができる．
\begin{align} &ax^3+bx^2+cx+d=0\\ ~\Leftrightarrow~&x^3+\dfrac{b}{a}x^2+\dfrac{c}{a}x+\dfrac{d}{a}=0 \end{align}これより，$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$の3解を$\alpha，\beta，\gamma$とすると
\begin{align} \begin{cases} \alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{b}{a}\\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{c}{a}\\ \alpha\beta\gamma=-\dfrac{d}{a} \end{cases} \end{align}とわかる．
2次方程式と3次方程式に限らず，解と係数の関係は一般の$n$次方程式まで成立する．
3次方程式の解と係数の関係
次の3次方程式の3解を$\alpha，\beta，\gamma$とする．$ \alpha + \beta + \gamma，\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha$および$\alpha\beta\gamma$の値を求めよ．
- $x^3-5x^2+7x-1=0$
- $3x^3+8x^2-6x+5=0$
3次方程式の解と係数の関係から
\begin{align} &\alpha+\beta+\gamma=\boldsymbol{5}\\ &\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\boldsymbol{7}\\ &\alpha\beta\gamma=\boldsymbol{1} \end{align}式全体を$3$で割り，$x^3+\dfrac{8}{3}x^2-2x+\dfrac{5}{3}=0$．3次方程式の解と係数の関係から
\begin{align} &\alpha+\beta+\gamma=\boldsymbol{-\dfrac{8}{3}}\\ &\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\boldsymbol{-2}\\ &\alpha\beta\gamma=\boldsymbol{-\dfrac{5}{3}} \end{align}
3次方程式の解と係数の関係の利用
3次方程式$x^3 − 3x + 5 = 0$の3解を$\alpha，\beta，\gamma$とするとき，次の式の値を求めよ．
- $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$
- $ (\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1) $
- $\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma}$
- $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3$
3次方程式の解と係数の関係より
\begin{align} &\alpha+\beta+\gamma=0,\\ &\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-3,\\ &\alpha\beta\gamma=-5 \end{align} $\tag{1}\label{3zihouteisikinokaitokeisuunokankeinoriyou}$である．
- \begin{align} &\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\\ &=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\\ &=0^2-2\cdot(-3)\\ &=\boldsymbol{6} \end{align} $\blacktriangleleft\eqref{3zihouteisikinokaitokeisuunokankeinoriyou}$を使った
-
\begin{align}
&(\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)\\
&=\alpha\beta\gamma+\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha+\alpha+\beta+\gamma+1\\
&=-5-3+0+1\\
&=\boldsymbol{-7}
\end{align} $\blacktriangleleft\eqref{3zihouteisikinokaitokeisuunokankeinoriyou}$を使った
【別解】
$x^3 − 3x + 5 = (x − \alpha)(x − \beta)(x − \gamma)$の両辺に$x = − 1$を代入すると
\begin{align} &7=(-1-\alpha)(-1-\beta)(-1-\gamma)\\ \Leftrightarrow~&(\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)=\boldsymbol{-7} \end{align} - \begin{align} &\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma}\\ &=\dfrac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}\\ &=\dfrac{-3}{-5}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{3}{5}} \end{align} $\blacktriangleleft\eqref{3zihouteisikinokaitokeisuunokankeinoriyou}$を使った
- \begin{align} &\alpha^3+\beta^3+\gamma^3\\ =&(\alpha+\beta+\gamma)\left\{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\right. \\ &\Bigl. -(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\Bigr\}+3\alpha\beta\gamma\\ =&0\cdot\left\{6-(-3)\right\}+3\cdot(-5)\\ =&\boldsymbol{-15} \end{align} $\blacktriangleleft$1.と$\eqref{3zihouteisikinokaitokeisuunokankeinoriyou}$を使った