条件付確率

図のように，クラブのジャックからエースまでの4枚とスペードのクイーンからエースまでの3枚，計7枚のカードの中から 1枚のカードを引くという試行を考える．

事象 $A$ ：「スペードのカードを引く」

事象 $B$ ：「エースのカードを引く」

とおくと，それぞれの事象の起こる確率 $P(A),P(B)$ は

\[P(A)=\frac{3}{7},P(B)=\frac{2}{7}\]

となる．

さて，いまこの試行において「引いたカードはスペードであった」ということが知らされたとして， その状況の下で考えた場合に，そのカードが“スペードのエース”である確率はいくつになるだろうか． これは次のように考えればよい．

まず，引いたカードがスペードであることは確定しているのだから，手持ちのカードの種類には3通りしかない． そして，そのうちエースであるのは1通りだから，求める確率は $\frac{1}{3}$ となる．

これは，標本空間を新しく $A$ として考えたときの，事象 $A\cap{B}$ の確率を考えていることに他ならない．

事象 $A$ という条件の下，事象 $B$ が起こる確率を，

条件付確率(conditional probability)といい $\boldsymbol{P_A(B)}$ と表す． $P_A(B)$ は

\[P_A(B)=\frac{n(A\cap{B})}{n(A)}\tag{1}\label{zyoukentukikakuritu1}\]

であると考えることができた． さらに，この右辺の分母・分子を標本空間の根元事象の個数 $n(U)$ で割ると， $\dfrac{n(A)}{n(U)}=P(A),\dfrac{n(A\cap{B})}{n(U)}=P(A\cap{B})$ であるから

\[P_A(B)=\frac{P(A\cap{B})}{P(A)}\tag{2}\label{zyoukentukikakuritu2}\]

となるので，この $\eqref{zyoukentukikakuritu2}$ を条件付確率 $P_A(B)$ の定義とする．