余事象の確率

補集合の要素の個数より

$n(\overline{A})=n(U)-n(A)$

が成り立つ．この両辺を， $n(U)$ で割ると

$\frac{n(\overline{A})}{n(U)}=1-\frac{n(A)}{n(U)}$

$\therefore P(\overline{A})=1-P(A)$

が成り立つ．

事象 $A$ と，その余事象 $\overline{A}$ において

$P(\overline{A})=1-P(A)$

が成り立つ．

吹き出し無題

このことは，ある事象 $A$ の確率を求めるのが大変な場合，むしろ $A$ の余事象 $\overline{A}$ の要素の個数に着目すべきである，ということを教えてくれる．

3つのさいころを同時に振るとき，少なくとも1つのさいころで3の倍数の目が出る確率を求めよ．

事象 $A$ を

$A$ ：「3つのさいころで3の倍数の目が出ない」

とおくと，求める確率は $P(\overline{A})$ である．

3つのさいころの目の重複順列 $_{6}\Pi_{3}=6^3=216$ 通りは，どれも同様に確からしい．

このうち，3の倍数の目がまったく出ないのは（3の倍数でない目が1，2，4，5と4つあるので）

$_{4}\Pi_{3}=4^3=64$ 通り

よって，3の倍数の目が出ない確率 $P(A)$ は

$P(A)=\frac{64}{216}=\frac{8}{27}$

求める確率は $P(\overline{A})$ なので

$P(\overline{A})=1-P(A)=1-\frac{8}{27}=\boldsymbol{\frac{19}{27}}$

となる．