数学A 第2章 確率 — 加法定理と排反事象

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この節の前提確率とは何か／数学I集合の要素の個数

さいころ投げにおいて、例えば「偶数の目が出る」という事象と「3以下の目が出る」という事象には共通している事象、つまり「2の目が出る」という事象がある。このように、2つの事象において、共通の事象がある場合や、無い場合について、ここでは整理してみる。

和事象と積事象

和事象と積事象について

さいころを1回投げる試行を考えよう。この試行において、標本空間 U を

U={1,2,3,4,5,6}

とすると、「偶数の目が出る」という事象 A 、「3以下の目が出る」という事象 B は

A={2,4,6},B={1,2,3}

と表すことができる。

いま、「偶数の目が出るか、または、3以下の目が出る」という事象は、 A と B の和集合で

A∪B={2,4,6}∪{1,2,3}={1,2,3,4,6}

と表すことができる。

また、「偶数の目が出て、かつ、3以下の目が出る」という事象は、 A と B の共通部分で

A∩B={2,4,6}∩{1,2,3}={2}

と表すことができる。

§

定義1和事象と積事象

標本空間 U の部分集合で表される2つの事象 A,B において「 A または B 」を A と B の

和事象(sum event)

という。和事象は和集合 A∪B で表される（図参照）.

また「 A かつ B 」を A と B の

積事象(product event)

という。積事象は共通部分 A∩B で表される （図参照）.

加法定理と排反事象について

加法定理

ある試行の標本空間 U と、事象 A,B について考える。

事象 A,B に包含と排除の原理を用いると

n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)

が成り立つ。根元事象が同様に確からしい場合、 n(A)/n(U)=P(A) であるから、この両辺を標本空間 U の根元事象の個数 n(U) で割ると

n(A∪B)n(U)=n(A)/n(U)+n(B)/n(U)-n(A∩B)n(U) ∴P(A∪B)=P(A)+P(B) -P(A∩B) ①

が成り立つ。

この ① のことを、確率の加法定理(addition theorem)という。

排反事象

さいころを1回投げる試行において、偶数の目が出る事象 A={2,4,6} と、奇数の目が出る事象 B={1,3,5} は同時に起こることがない。別のいいかたをすれば、同時に起こらない事象の積事象は、次のように空事象になる。

A∩B={2,4,6}∩{1,3,5}=∅

一般に、2つの事象 A,B が同時に起こることがないとき、 A と B は互いに排反はいはん(exclusive)である、または、排反事象(exclusive event)であるという。このとき、 A と B の積事象は空事象である。

A∩B=∅

余事象とその確率

余事象

事象 A に対して、“ A が起こらない”という事象を A の余事象(complementary event)といい、 A で表す。余事象 A は、事象 A を表す集合 A の補集合 A で表される。

余事象 A のさらに余事象は、“ A が起こる”という事象 A にもどる。

事象 A と A は互いに排反で、それらの和事象 A∪A は標本空間 U である。

余事象の確率

補集合の要素の個数より

n(A)=n(U)-n(A)

が成り立つ。根元事象が同様に確からしい場合、 n(A)/n(U)=P(A) であるから、この両辺を n(U) で割ると

n(A)/n(U)=1-n(A)/n(U) ∴P(A)=1-P(A)

が成り立つ。

最終更新: 2026-09-03