資源配分(配分先に区別が無い場合)の和

資源配分(配分先に区別が無い場合)の和

資源配分 (配分先に区別が無い場合)の例題において. 空の箱があってもよいとすると,何通りの配り方があるか求めよ.

資源配分 (配分先に区別が無い場合)の解答より,

空の箱が1つも無い場合には7通りであった.

2つの箱が空箱になるのは,1通り. 1つの箱が空箱になるのは(数えて)4通り.よって

$1+4+7=\boldsymbol{12}$ 通り

$\uparrow p(9,1)+p(9,2)+p(9,3)$

この例題からわかるように,空の箱があってもよい場合のボール の配り方は, $p(n,r)$ の和となる. ボールと箱のモデルでまとめると,次のようになる.

資源配分(配分先に区別が無い場合)の和

「区別しない $n$ 個のボールを,区別しない $r$ 個の箱に配る(何個でもよい)場合の数」は, $p(n,1)+p(n,2)+\cdots+p(n,r)$ と表すことができる.

ボールと箱のモデルでの体系では以下の位置を占めている.

ボール・箱単射写像全て全射
あり・あり順列重複順列部屋割り
なし・あり組合せ重複組合せ資源配分
あり・なし(右枠の和)部屋割り(区別なし)
なし・なし(右枠の和)資源配分(区別なし)