ボールと箱のモデル4

説明文

$_{5}\mathrm{C}_{3}$ の定義は

「区別する5個のものから3個とりだして作る組の総数」

であったが，これはボールと箱のモデルを使って

「区別しない3個のボールを，区別する5個の箱に多くても1個配る場合の数」

といいかえることができる．これは，次のように説明できる．

準備として，3つのボールは区別しないでそれを $\bigcirc{}$ , $\bigcirc{}$ , $\bigcirc{}$ とし， 箱は区別するので番号をつけ，それをとしておく．

3つの区別しないボールを，5つの区別する箱に高々1個配る場合の総数は，結局5つの箱からボールを入れるための箱を3つ選ぶ 選び方と等しくなり，これは「区別する5個のものから3個とりだして作る組の総数」と考えることができるので $_{5}\mathrm{C}_{3}=\frac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2\cdot1}=10$ 通りとなる．

一般に，次のようにまとめることができる．