組合せ$_{n}\text{C}_{r}$の計算

区別する $n$ 個のものから $r$ 個取り出して作る組の総数 $_{n}\mathrm{C}_{r}$ も,先程の例と同じように考えることができる.

まず, $n$ 枚のカードから $r$ 枚引いて順列を作ると,その総数は $_{n}\mathrm{P}_{r}$ 通りある.

順列ではなく, $r$ 枚のカードの組を作る場合には, $n-r$ 順列のうち $r!$ 通りについては同一視することになるので, 順列の総数 $_{n}\mathrm{P}_{r}$ を $r!$ で割ることにより

\begin{align} _{n}\mathrm{C}_{r}=\frac{_{n}\mathrm{P}_{r}}{r!}=&\ \frac{\overbrace{n(n-1)\cdots(n-r+1)}^{r個の積}}{r(r-1)\cdot2\cdot1}\\ =&\ \frac{n!}{(n-r)!r!} \end{align}

$\blacktriangleleft$ 順列 $_{n}\mathrm{P}_{r}$ の計算参照

以上,まとめると

組合せ $_{n}\mathrm{C}_{r}$ の計算

組合せ $_{n}\mathrm{C}_{r}$ は

\begin{align} _{n}\mathrm{C}_{r}=\frac{_{n}\mathrm{P}_{r}}{r!}=&\ \frac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r(r-1)\cdot2\cdot1}\\ =&\ \frac{n!}{(n-r)!r!} \end{align}

と計算できる.

吹き出し無題

よくあるまちがいとして, $_{n}\mathrm{C}_{0}=0$ としてしまうというのがある. 上の式によれば, $_{n}\mathrm{C}_{0}=\frac{n!}{(n-0)!0!}=1$ である. このことは, $_{n}\mathrm{C}_{0}$ すなわち「区別する $n$ 個のものから0個選ぶ場合の数」は, 「1個も選ばない」という1通りである,と

こじつけ

で覚えてしまうとよい.

組合せの計算練習

次の値を求めよ.

  1. $_{5}\mathrm{C}_{2}$
  2. $_{4}\mathrm{C}_{4}$
  3. $_{10}\mathrm{C}_{3}$
  4. $_{20}\mathrm{C}_{2}$

  1. $_{5}\mathrm{C}_{2}=\dfrac{5\cdot 4}{2\cdot 1}=\boldsymbol{10}$

  2. $_{4}\mathrm{C}_{4}=\dfrac{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\boldsymbol{1}$

  3. $_{10}\mathrm{C}_{3}=\dfrac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}=\boldsymbol{120}$

  4. $_{20}\mathrm{C}_{2}=\dfrac{20\cdot 19}{2\cdot 1}=\boldsymbol{190}$

組合せ〜その1〜

男子が5人,女子が5人いる中で,4人を選ぶ場合の数について以下の問に答えよ.

  1. 男女関係無く選ぶときの場合の数は何通りか.
  2. 男子から2人,女子から2人選ぶときの場合の数は何通りか.
  3. 男子から3人,女子から1人選ぶときの場合の数は何通りか.

  1. $_{10}\mathrm{C}_{4}=\dfrac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\boldsymbol{210}$ 通り
  2. 男子2人の組合せそれぞれに対して,女子2人の組合せが決められるので
  3. $_{5}\mathrm{C}_{2}\cdot\ _{5}\mathrm{C}_{2}=\dfrac{5\cdot 4}{2\cdot 1}\cdot \dfrac{5\cdot 4}{2\cdot 1}=\boldsymbol{100}$ 通り

  4. 男子3人の組合せそれぞれに対して,女子1人の組合せが決められるので
  5. $_{5}\mathrm{C}_{3}\cdot\ _{5}\mathrm{C}_{1}=\dfrac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1}\cdot \dfrac{5}{1}=\boldsymbol{50}$ 通り

組合せ〜その2〜

説明文

説明文

  1. 図のように,横に4本,縦に7本の直行する平行線が引かれている. この中に長方形はいくつあるか求めよ.
  2. 正十角形の対角線の本数を求めよ.

  1. 横4本の平行線のうちから2本,縦7本の平行線のうちから2本をそれぞれ選べば,1個の長方形が定まる.
  2. よって

    $_{4}\mathrm{C}_{2}\cdot\ _{7}\mathrm{C}_{2}=\boldsymbol{126}$ 本

  3. 10個の頂点のうち2個を選べば,1本の対角線または辺が定まる.辺の数は10本であるから,これを除いて
  4. $_{10}\mathrm{C}_{2}-10=45-10=\boldsymbol{35}$ 本

組み分け

10人を次のように分ける方法は何通りあるか.

  1. 7人,3人に分ける.
  2. 5人,5人に分ける.
  3. 4人,3人,3人に分ける.
  4. 2人,2人,2人,2人,2人に分ける.

  1. 10人から3人を選びグループとし,残った7人をもうひとつのグループにすればよい.よって
  2. $_{10}\mathrm{C}_{3}\cdot\ _{7}\mathrm{C}_{7}=\dfrac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}\cdot1=\boldsymbol{120}$ 通り

  3. 10人から5人を選びグループとし,残った5人をもうひとつのグループにすればよい.
  4. しかし,10人を $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j$ とすると,例えばはじめに $a,b,c,d,e$ の5人を 選んだ場合と,はじめに $f,g,h,i,j$ を選んだ場合では,どちらも

    \begin{align} (a,b,c,d,e)(f,g,h,i,j) \end{align}

    という2つのグループに分かれるという点では同じである.つまり,これらは2つで1通りと数えなければならない.

    他の選び方でも同様のことがいえるので,2で割ることにより重複の分を修正して

    \begin{align} \dfrac{_{10}\mathrm{C}_{5}\cdot\ _{5}\mathrm{C}_{5}}{2} &=\dfrac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\cdot1\cdot\dfrac{1}{2}\\ &=\boldsymbol{126}通り \end{align}
  5. 最初に4人選びグループとし,残った6人から3,3人のグループをつくればよい. ただし,3人のグループが2つあるので,2. と同じように重複した分は修正する必要がある.
  6. \begin{align} &\ \frac{_{10}\mathrm{C}_{4}\cdot\ _{6}\mathrm{C}_{3}\cdot\ _{3}\mathrm{C}_{3}}{2}\\ =&\ \frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\cdot \frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}\cdot \frac{1}{2}\\ =&\ \boldsymbol{2100} \end{align}

    ∴2100通り

  7. 2人ずつ選んでいって,重複を修正すると
  8. \begin{align} &\ \frac{_{10}\mathrm{C}_{2}\cdot\ _{8}\mathrm{C}_{2}\cdot\ _{6}\mathrm{C}_{2}\cdot\ _{4}\mathrm{C}_{2}\cdot\ _{2}\mathrm{C}_{2}}{5!}\\ =&\ \frac{10\cdot 9}{2\cdot 1}\cdot \frac{8\cdot 7}{2\cdot 1}\cdot \frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}\\ &\qquad\cdot \frac{4\cdot 3}{2\cdot 1}\cdot \frac{1}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\\ =&\ \boldsymbol{945} \end{align}

    ∴945通り